用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：填空题

填空题

如图，在直棱柱中，，，AA1=2，E、F分别是AC、AB的中点，过直线EF作棱柱的截面，若截面与平面ABC所成的二面角的大小为，则截面的面积为____________.

正确答案

或

由判断得经过A1或B1C1的截面与底面ABC，所成的角小于，故截面与相交，且有两种情况：如图，截面为EFMN，过N作NP∥AA1，则NP⊥AC，

可证EF⊥平面A1C，则，，

，故， ∴ ∴

同理：故截面面积为或

题型：填空题

填空题

已知二面角的平面角为，AB⊥BC，BC⊥CD，，BC在l上，，若，则AD的长为 .

正确答案

由得：

而，，，故

题型：简答题

简答题

（本小题10分）

棱长为２的正方体中，．

①求异面直线与所成角的余弦值；

②求与平面所成角的余弦值．

正确答案

Ⅰ）（Ⅱ），

略

题型：简答题

简答题

已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2.

（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；

（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角的大小.

正确答案

（1）以O为原点，分别为x，y，z轴建立直角坐标系, M（0，0，1）F（，0，1）=（，0，0）, MF⊥平面,所以平面AEF⊥平面（2）

试题分析：（1）以O为原点，分别为x，y，z轴建立直角坐标系，

由条件知：EC=BC=2，FB=1，OA=1，OB=，

从而坐标E（0，1，2），F（，0，1）.

（1）连结AE与交于M，连结MF，

可得，M（0，0，1），

=（，0，0）.

则MF⊥平面yOz，即MF⊥平面，

所以平面AEF⊥平面.

（2）取EC中点G，得平面MFG∥底面ABCD，

所以只要求面AEF与面MFG所成的二面角即可.

，

即，可见是面AEF与面MFG所成二面角的平面角.

在Rt△MGE中，EG=1，MG=1，ME=，显然，所求二面角为.

点评：本题利用向量求解较简单，坐标原点在底面对角线交点处

题型：填空题

填空题

如下图，在正方体中，是中点，是的中点，则直线与所成角的大小为_______．

正确答案

解：因为直线在平面ABB1A1内的射影与直线垂直，因此利用三垂线定理以及逆定理可知所求的角为

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