热门试卷

（Ⅰ）证明：取AC中点E，连DE、BE，

则DE∥PC，PC⊥AC

∴DE⊥AC …（2分）

又△ABC是正三角形可得BE⊥AC

由线面垂直的判定定理知AC⊥平面DEB，又BD⊂平面BED

∴AC⊥BD                             …（5分）  

（Ⅱ）由（Ⅰ）中知DE⊥AC，BE⊥AC

∴∠DEB是二面角P-AC-B的平面角，∴∠DEB=120°

又AB=2其中线 BE=AB=3DE=PC=1

∵AC⊥平面BDE，AC⊂平面ABC

∴平面ABC⊥平面BDE且交线为BE，…（7分）

过D作平面ABC的垂线DF，垂足F必在直线BE上  

又∠DEB=120°，∴设F在BE延长线上，则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角         …（9分）

又△DEB中 DB2=DE2+BE2-2BE•DEcos120°=13，∴BD=

由正弦定理：=，

∴sin∠DBE=，即BD与底面ABC所成的角的正弦值为…（12分）

（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，SD⊂平面SAD

∴平面SAD⊥平面ABCD，

∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD

∴AB⊥平面SAD，

∵DE⊂平面SAD

∴DE⊥AB．…（3分）

∵SD=AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，

∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB

∴平面BED⊥平面SAB．…（6分）

（2）

作AF⊥BE，垂足为F．

由（1），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，所以∠AEF是直线SA与平面BED所成的角．…（8分）

设AD=2a，则AB=a，SA=2a，AE=a，△ABE是等腰直角三角形，则AF=a．

在Rt△AFE中，sin∠AEF==，∴∠AEF=45°

故直线SA与平面BED所成角的大小45°．…（12分）

（1）以DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示．

则A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），

=(2，0，-2)，=(0，4，-2)． …（2分）

设平面D1AC的法向量为=（x，y，z），

则•=0，•=0．

即x=z，z=2y．令y=1，则x=z=2．

∴平面D1AC的一个法向量=（2，1，2）．…（4分）

又平面DAC的一个法向量为=（0，0，1）．

故cos＜，＞===，

即二面角D1-AC-D的余弦值为． …（6分）

（2）当λ=时，E（0，1，2），F（1，4，0），=(1，3，-2)．

所以cos ＜，＞===．                 …（9分）

因为 cos＜，＞＞0，所以＜，＞为锐角，

从而直线EF与平面D1AC所成角的正弦值的大小为．         …（10分）

（3）假设EF⊥EA，则•=0．

∵E(0，，2)，F(1，4，0)，

∴=(2，-，-2)，=(1，4-，-2)．               …（12分）

∴2-(4-)+4=0．化简得3λ2-2λ+3=0．

该方程无解，所以假设不成立，即直线EF不可能与直线EA不可能垂直．…（14分）