热门试卷

（1）证明（i）∵C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，∴C1B1∥平面ADD1A1，

又C1B1⊂平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF，

∴C1B1∥EF，∴EF∥A1D1；

（ii）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，

又∵B1C1⊥B1A1，

∴B1C1⊥平面ABB1A1，

∴B1C1⊥BA1，

在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，故BA1⊥B1F．

所以BA1⊥平面B1C1EF；

（2）设BA1与B1F交点为H，

连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．

在矩形AA1B1B中，AB=，AA1=2，得BH=，

在RT△BHC1中，BC1=2，sin∠BC1H==，

所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是．

（1）以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，D-xyz，

∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为AA1、BB1的中点

则C（0，2，0）、D1（0，0，2）、M（2，0，1）、N（2，2，1）

∴=(2，-2，1)，=(2，2，-1)

∴cos＜，＞==-

但CM与D1N所成的角应是＜，＞的补角，∴CM与D1N所成的角的余弦值为

（2）=(0，-2，1)，=(-2，0，0)则可得平面MBC的法向量=(0，1，2），与夹角的余弦值cos＜，＞=0，则D1N与平面MBC所成角的余弦值为1

建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），O1(0，1，)，A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，0)

∴=(-，1，-)，=(，-1，-)

∴cos＜，＞===-

∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为-．

（Ⅰ）以A点为坐标原点，以AB，AD，AA1方向为X、Y、Z轴正方向建立空间坐标系，则E（1，0，0）D1（0，2，2）=（-1.2，2）

B （2，0，0）D（0，2，0）C1（2，2，2）=（0，2，2）=（-2，2，0）设面BC1D的一个法向量为=（x，y，z）则

即取x=1得为=（1，1，-1），与所成角的余弦值等于==-，∴D1E与平面BC1D所成角θ的正弦值为 

D1E与平面BC1D所成角的大小为arcsin；

 （Ⅱ）易知面BC1C的一个法向量=（1，0，0），两法向量夹角余弦值为==，又二面角D-BC1-C是锐二面角，∴大小为arccos

（Ⅲ）∵BD∥B1D1，BD⊂面BC1D，∴B1D1∥面BC1D，，异面直线B1D1与BC1之间的距离等于B1D1到面BC1D，的距离，即为 B1到面BC1D，的距离，

=（0，0，2），在方向上的投影为==，∴异面直线B1D1与BC1之间的距离