热门试卷

解：连接AC，设AC∩BD=O，连接PO

∵PD⊥平面ABCD，CO⊂平面ABCD∴PD⊥CO

由ABCD为正方形，知CO⊥BD

∵PD∩BD=D∴CO⊥平面PBD

∴∠CPO是直线PC与平面PBD所成的角

在Rt△POC中，=

∴

∴直线PC与平面PBD所成的角为

（2）建立如图所示的空间直角坐标系D_xyz，设线段PB上存在一点E，使得PC⊥平面ADE

则存在实数λ，使得（0≤λ≤1）

∵P（0，0，2），B（2，2，0）∴  

∴==（2λ，2λ，2-2λ）

由题意显然有AD⊥平面PCD∴PC⊥AD     要使PC⊥平面ADE，只需

即∴0×2λ+2×2λ-2（2-2λ）=0

∴

故在线段上存在一点E（E为线段的中点）使得PC⊥平面ADE

证明：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO，

因为底面ABCD是正方形，所以点O是AC的中点，

在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO．

而EO⊂面EDB，PA⊄面EDB，所以PA∥面EDB．

（2）因为PD⊥面ABCD，且BC⊂面ABCD，所以PD⊥BC．

因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥CD．

而CD∩DP=D，所以BC⊥面CDP，因为DE⊂面CDP，所以BC⊥DE．

（3）解：因为PD⊥面ABCD，且DC⊂面ABCD，所以PD⊥DC．

因为PD=PC，所以DE⊥PC．由（2）知DE⊥BC，而BC∩PC=C．

所以DE⊥面PCB，而PB⊂面PCB，所以DE⊥PB．

又有EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥面EFD．

所以∠BDF即BD和面EFD所成的角．

令PD=DC=1，则DB=，PB=，

所以cos．

故直线BD与面DEF所成角的余弦值为．