用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上（点E异于A、B两点），点F在DE上，且AF⊥DE，若圆柱的底面积与△ABE的面积之比等于π．

（1）求证：AF⊥BD；

（2）求直线DE与平面ABCD所成角的正切值．

正确答案

（1）证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．

∵EB⊂平面ABE，

∴DA⊥EB．

∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，

∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，

故得EB⊥平面DAE．

∵AF⊂平面DAE，

∴EB⊥AF．

又AF⊥DE，且EB∩DE=E，

故得AF⊥平面DEB．

∵DB⊂平面DEB，

∴AF⊥DB．

（2）∵平面ABCD⊥面ABE，

∴过E作EH⊥AB，

则EH⊥面ABCD，

即∠EDH为DE与平面ABCD所成角，

设圆柱的底半径为r，因为圆柱的轴截面ABCD是正方形，

△ABE的面积为S==r•EH．圆柱的底面积S=π•r2，

∵若圆柱的底面积与△ABE的面积之比等于π，

∴r•EH•π=π•r2，

解得EH=r，

∴点H为圆柱底面圆的圆心，

则tan=，

即直线DE与平面ABCD所成角的正切值．

解析

（1）证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．

∵EB⊂平面ABE，

∴DA⊥EB．

∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，

∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，

故得EB⊥平面DAE．

∵AF⊂平面DAE，

∴EB⊥AF．

又AF⊥DE，且EB∩DE=E，

故得AF⊥平面DEB．

∵DB⊂平面DEB，

∴AF⊥DB．

（2）∵平面ABCD⊥面ABE，

∴过E作EH⊥AB，

则EH⊥面ABCD，

即∠EDH为DE与平面ABCD所成角，

设圆柱的底半径为r，因为圆柱的轴截面ABCD是正方形，

△ABE的面积为S==r•EH．圆柱的底面积S=π•r2，

∵若圆柱的底面积与△ABE的面积之比等于π，

∴r•EH•π=π•r2，

解得EH=r，

∴点H为圆柱底面圆的圆心，

则tan=，

即直线DE与平面ABCD所成角的正切值．

题型：填空题

填空题

如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为______．

正确答案

解析

解：如图所示，

取A′B′的中点D，连接C′D′，BD．

∵底面△A′B′C′是正三角形，

∴C′D⊥A′B′．

∵AA′⊥底面ABC，∴A′A⊥C′D．

又AA′∩A′B′=A′，

∴C′D⊥侧面ABB′A′，

∴∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成角．

∵等边△A′B′C′的边长为1，C′D=．

在Rt△BB′C′中，BC′==．

∴直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值==．

故答案为：．

题型：单选题

单选题

长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知二面角A1-BD-A的大小为，若空间有一条直线l与直线CC1，所成的角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是（　　）

A[，]

B[，]

C[，]

D[0，]

正确答案

解析

解：如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A1O，由三垂线定理可得BD⊥A1O，则∠AOA1为二面角A1-BD-A的平面角，∴∠AOA1=．

把直线l平移到AM，则∠A1AM=∠MAO=．

过点A作AP⊥A1O，则AP⊥平面A1BD．

∴AM（即直线l）与平面A1BD所成的最大角为∠AMA1=∠MAO+∠MOA==．

假设，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）

与平面A1BD所成的最小角为∠ANP=∠PA1A-∠A1AN==．

∴直线l与平面A1BD所成角的取值范围是．

故选：C．

题型：填空题

填空题

正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1与平面ACD1所成角的正弦值为______．

正确答案

解析

解：如图，设下底面的中心分别为O，由于CC1∥DD1，

D1D与平面ACD1所成角就是CC1与平面ACD1所成角，

而DD1与平面ACD1所成角即∠DD1O．

设正方体的棱长为1，

在直角三角形DD1O中，DO=，DD1=1，OD1=，

∴sin∠DD1O==．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．下图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．

（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；

（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平

行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量与，共面，写出证明过程）；

（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．

正确答案

解：（1）设D在α上的射影为H

∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥∥DH，∴AC，DH共面，

∴过D作DK⊥AC于K，

∴AHDK为矩形，

设DH=h，则（AC-h）2+AH2=CD2，①

由三垂线定理易知BH⊥AB

∴AH2=AB2+BH2=AB2+（BD2-h2）②

将②代入①，得：（24-h）2+72+（242-h2）=252，解得h=12，

于是sin∠DBH=，

∴∠DBH=30°，即BD与α所成的角是30°．

（2）由向量加法的三角形法则，，

两式相加即得．

∴由共面向量的判定定理得到量与，共面．

从而一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行

（3）∵

∴=288（1+sinθ）（单位长度）

∵θ∈（0，），

∴，即MN准备28（单位长度）就一定够用．

解析

解：（1）设D在α上的射影为H

∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥∥DH，∴AC，DH共面，

∴过D作DK⊥AC于K，

∴AHDK为矩形，

设DH=h，则（AC-h）2+AH2=CD2，①

由三垂线定理易知BH⊥AB

∴AH2=AB2+BH2=AB2+（BD2-h2）②

将②代入①，得：（24-h）2+72+（242-h2）=252，解得h=12，

于是sin∠DBH=，

∴∠DBH=30°，即BD与α所成的角是30°．

（2）由向量加法的三角形法则，，

两式相加即得．

∴由共面向量的判定定理得到量与，共面．

从而一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行

（3）∵

∴=288（1+sinθ）（单位长度）

∵θ∈（0，），

∴，即MN准备28（单位长度）就一定够用．

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