热门试卷

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则相关各点的坐标为A1（2，0，0），B1（1，，），

P（1，，z），M，C(0，0，2)，A（2，0，2），由A1P⊥B1M知=0 ，

∴（-1，，z）·即点P的坐标为P（1，，），

设平面APC的法向量为n=（x，y，z），

由

取z= -1，则有n=（0，-，-1），方向指向平面APC的左下方，

设直线A1P与平面APC所成角为α，则sinα=；

（2），设A1到平面PAC的距离为d，则

(Ⅰ)解：如图，取CD的中点G，连接MG，NG，

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG=2，NG=，

因为平面ABCD⊥平面DCEF，

所以MC⊥平面DCEF，

可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角，

因为MN=，

所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值．

(Ⅱ)证明：假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，

且平面MBEN与平面DCEF交于EN，

由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF，

又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，

而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB∥EN，

又AB∥CD∥EF，

所以EN∥EF，

这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．

所以ME与BN不共面，它们是异面直线．

（1）⇒PA⊥BC

⇒BC⊥平面PAC

（2）建立空间直角坐标系如图，各点坐标分别为：

P（0，0，1），B（0，1，0），C(，，0)D(0，，)，E(，，)

∴=(0，，)，=(，，)，

由DE⊥平面PAC可知，∠DAE即是所求的二面角的平面角．∴cos＜，＞==，

故所求二面角的余弦值为

（3）设D点的y轴坐标为a，DE⊥AE，DE⊥PE，当A-DE-P为直二面角时，PE⊥AE=(a，a，1-a)，=(a，a，-a)，得•=a2+a2-a+a2=0⇒a=

∴E(，，)，所以符合题意的E存在．

解：（1）取CE中点N，连接MN，BN

则MN∥DE∥AB且MN=DE=AB

∴四边形ABNM为平行四边形

∴AM∥BN

∴AM∥平面BCE。

（2）取AD中点H，连接BH

∵是正三角形，

∴CH⊥AD

又∵平面ACD，

∴CH⊥AB

∴CH⊥平面ABED

∴∠CBH为直线与平面所成的角

设AB=a，则AC=AD=2a ，

∴BH=a，BC=a

cos∠CBH=。