- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
(选做题）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱
PC的中点，AM⊥平面PBD．
（1）求PA的长；
（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．
正确答案
解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）．
因为M是PC中点，所以M点的坐标为（ 
所以 
（1）因为
即﹣ 
所以a=1，即PA=1．
（2）由
可求得平面AMD的一个法向量n=（﹣1，0，1）．
又
所以cos＜n，
所以，PC与平面AMD所成角的正弦值为 
如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE=2，AD=4，AA1=8．
（1）求直线A1E与平面AA1DD1所成角的正弦值；
（2）求证：AF⊥平面A1ED；
（3）求二面角A1﹣ED﹣F的余弦角．
正确答案
解：（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，
依题意得D（0，4，0），F（2，4，2），A1（0，0，8），E（2，3，0）
在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∴
∴cos＜
故直线A1E与平面AA1DD1所成角的正弦值为
（2）证明：易知 
于是 
因此AF⊥A1E，AF⊥ED，
又A1E∩ED=E，所以AF⊥平面A1ED．
（3）设平面EFD的法向量 
则 
不妨令X=1，可得 
由（2）可知，
于是cos 
所以二面角A1﹣ED﹣F的余弦值为
在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP。
（1）求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；
（3）求点P到平面ABD1的距离。
正确答案
解：（1）
（2）“略”；
（3）
棱长为2的正方体
（1）求异面直线OA与BD1所成角的余弦值；
（2）求OA与平面BB1D1D所成角的余弦值。
正确答案
解：（1）
（2）
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
（1）求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值；
（2）在线段AC上找一点P，使
正确答案
解：（1）以
则
因为AC⊥BD，AF⊥BD，
所以
又因为
所以
（2）设P（a，a，0）
则
因为
所以
故存在满足条件的点P为AC的中点．
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