- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC1=2，点D是AA1的中点。
（1）证明：平面BC1D⊥平面BCD；
（2）求CD与平面BC1D所成角的正切值。
正确答案
（1）证明：
∴
∴面
由于
∴
∴
又
∴
∴
（2）解：∵平面
过点C作
∴
∴∠CDH的大小就是CD与平面
在
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1D与BC1所成角为90°，则直线BC1与平面BB1D1D所成角的大小为______．
正确答案
因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2
∴上下底面为正方形
又∵BC1∥AD1，A1D与BC1所形成的角为90°，
∴A1D与AD1所形成的角为90°，
∴AA1D1D为正方形，
ABCD-A1B1C1D1为正方体
设 O为B1D1的中点
C1O⊥平面 BB1D1D
连接BO
则∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成角
∵BC1=2
∴SIN∠C1BO=
∠C1BO=30°
故答案为：30°
如图，在△ABC中，∠C是直角，平面ABC外有一点P，PC=24，点P到直线AC、BC的距离PD和PE都等于6
（1）点P到平面ABC的距离PF；
（2）PC与平面ABC所成的角．
正确答案
（1）作PE，PD分别垂直于BC，BA，设PF垂直面ABC于F，
连接EF，FD，FC，
∵EP⊥CE，PF⊥CE，
∴CE⊥面PEF，∴CE⊥EF
同理，CD⊥DF
∵∠C是直角，
∴四边形ECDF是矩形
∴EC=DF
Rt△PEC中，PE=6
Rt△PDF中，PF=
（2）由题意，PF垂直面ABC于F，∠PCF为直线PC与面ABC所成的角．
∵sin∠PCF=
即直线PC与面ABC所成的角为30°
如图，已知PA⊥平面ABC，且
（1）求证：PC⊥平面ADE；
（2）求直线AB与平面ADE所成角的大小。
正确答案
解：（1 ）证明：因为PA⊥平面ABC，
所以
又
所以BC⊥平面PAB，
从而BC⊥AD，
又
所以AD⊥平面PBC，
得
又
所以PC⊥平面ADE。
（2）在平面PBC上，过点B作BF平行于PC交ED延长线于点F，
连结AF，因为PC⊥平面ADE，
所以BF ⊥平面ADE ，
在三角形PBC中，PD=
则BD=
在Rt△BFA中，
所以直线AB与平面ADE所成的角为30°。
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB，∠ABC=
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．
正确答案
（解法一）：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A，
∴PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC．
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴DE=
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD=
∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴BC=
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是
（解法二）：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=a，
由已知可得P（0，0，a），A（0，0，0），B(-
（1）∵
∴
∴BC⊥AP．
又∵∠BCA=90°，
∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴E为PC的中点，
∴D(-
∴又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵
∴cos∠DAE=
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为
扫码查看完整答案与解析