热门试卷

（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．

又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．

∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，

∴PB⊥平面EFD…（8分）

（2）解：取AB中点G，PD中点H，连接EH，HG，连接AH．

∵E是PC中点，

∴，

∴EBGH为平行四边形，…（9分）

∵PD⊥平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD连接AH，…（10分）

∴∠GHA为所求直线BE与平面PAD所成的角．…（13分）

∵AD=2DC，

∴在Rt△ADH中，AH=DC …（14分）

∴在Rt△AGH中，AG=CD，

∴sin∠GHA==．…（15分）

解：①如图，以点A为坐标原点O，以AB所成直线为Oy轴，

以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系．

由已知得A（0，0，0），B（0，a，0），，．

②坐标系如上，取A1B1的中点M，于是有，

连AM，MC1有=，

且=（0，a，0），=，

由•=0，•=0，

所以，MC1⊥面ABB1A1，

∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角．

∵=，=，

∴•=，==，=，

∴=，

所以，与所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°．

（1）证明：如图，

取AB中点M，连结CM、OM，

∵AC=BC，∴CM⊥AB，

又∵OM∥BB1，∴OM⊥AB，

OM∩CM=M，OM，CM⊂平面OCM，

∴AB⊥平面OCM，∴AB⊥CO，

连结A1C，∵BC⊥AC，BC⊥CC1，

∴BC⊥平面A1ACC1，且AC1⊂平面A1ACC1，

∴BC⊥AC1，

又∵A1C⊥AC1，且A1C∩BC=C，A1C，BC⊂平面A1BC，

∴AC1⊥平面A1BC，CO⊂平面A1BC，∴CO⊥AC1，

AB∩AC1=A，又∵AB，AC1⊂平面ABC1，

∴CO⊥平面ABC1；

（2）解：连结MC1交CO于N，连结BN，

∵CO⊥面ABC1，∴∠CBN为BC与平面ABC1所成的角，

令AC=BC=CC1=a，

在Rt△C1CM中，C1C=a，CM=a，

∴MC1=a，

∵CN⊥MC1，∴CN•MC1=CM•CC1，∴CN==a，

∵CB=a，∴Rt△CBN中，sin∠CBN===，

∴直线BC与平面ABC1所成角的正弦值为．