用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：单选题

单选题

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值构成的集合是（　　）

A{t|}

B{t|≤t≤2}

C{t|2}

D{t|2}

正确答案

解析

解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点

分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则

∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，

∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，

∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线

∴平面A1MN∥平面D1AE，

由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．

设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ

运动点F并加以观察，可得

当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ==2；

当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ==2

∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2，2]

故选：D

题型：简答题

简答题

在四棱锥P-ABCD中，AB=AD=4，CD=BC=4，PA=4，AB⊥BC，PA⊥CD，平面PAB⊥平面ABCD．

（1）证明：PC⊥BD；

（2）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．

正确答案

证明：（1）底面ABCD的图形中：AB=AD=4，CD=BC=4，AB⊥BC，

利用平面几何知识得出：BD=4，AC=8，BD⊥AC，

∵AB⊥BC，BC⊂平面ABCD，

平面PAB∩平面ABCD，

平面PAB⊥平面ABCD，

∴BC⊥平面PAB，

∵PA⊂平面PAB，

∴PA⊥BC，

∵PA⊥CD，BC∩CD=C，

∴PA⊥面ABCD，

又∵BD⊂面ABCD，

∴PA⊥BD，

又∵BD⊥AC，PA∩AC=A，

∴BD⊥面PAC，

∵PC⊂面PAC，

∴PC⊥BD；

（2）建立坐标系如图；A（0，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0），B（6，2，0），C（4，4，0），

∴=（6，2，-4），=（-2，2，0），=（0，4，-4），

设平面PBC的法向量为=（x1，y1，z1），

∵

∴

求解得出=（3，6），

∵与=（3，6），夹角为α，直线PD与平面PBC所成角为θ

则cosα==-，

∴直线PD与平面PBC所成角的正弦值sinθ=|cosα|=

解析

证明：（1）底面ABCD的图形中：AB=AD=4，CD=BC=4，AB⊥BC，

利用平面几何知识得出：BD=4，AC=8，BD⊥AC，

∵AB⊥BC，BC⊂平面ABCD，

平面PAB∩平面ABCD，

平面PAB⊥平面ABCD，

∴BC⊥平面PAB，

∵PA⊂平面PAB，

∴PA⊥BC，

∵PA⊥CD，BC∩CD=C，

∴PA⊥面ABCD，

又∵BD⊂面ABCD，

∴PA⊥BD，

又∵BD⊥AC，PA∩AC=A，

∴BD⊥面PAC，

∵PC⊂面PAC，

∴PC⊥BD；

（2）建立坐标系如图；A（0，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0），B（6，2，0），C（4，4，0），

∴=（6，2，-4），=（-2，2，0），=（0，4，-4），

设平面PBC的法向量为=（x1，y1，z1），

∵

∴

求解得出=（3，6），

∵与=（3，6），夹角为α，直线PD与平面PBC所成角为θ

则cosα==-，

∴直线PD与平面PBC所成角的正弦值sinθ=|cosα|=

题型：简答题

简答题

如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知该四棱锥底面边长是2m，高是m，

（1）求侧棱与底面所成角；

（2）求制造这个塔顶需要多少铁板？

正确答案

解：（1）如图所示，设正四棱锥S-ABCD中，连结AC和BD交于O，连接SO．

∵SO⊥ABCD，可得OA是侧棱SA在底面ABCD内的射影

∴∠SAO就是侧棱SA与底面ABCD内的所成角

Rt△SOA中，SO=m，AO=AB=m

∴tan∠SAO==

因此，∠SAO=arctan，即侧棱与底面所成角等于arctan；

（2）作SP⊥AB于P，连接OP．

∵在Rt△SOP中，SO=（m），OP=BC=1（m），

∴SP==2（m），

则△SAB的面积S=×AB×SP=×2×2=2（m2）．

∴四棱锥的侧面积是4×2=8（m2），

即制造这个塔顶需要8m2铁板．

解析

解：（1）如图所示，设正四棱锥S-ABCD中，连结AC和BD交于O，连接SO．

∵SO⊥ABCD，可得OA是侧棱SA在底面ABCD内的射影

∴∠SAO就是侧棱SA与底面ABCD内的所成角

Rt△SOA中，SO=m，AO=AB=m

∴tan∠SAO==

因此，∠SAO=arctan，即侧棱与底面所成角等于arctan；

（2）作SP⊥AB于P，连接OP．

∵在Rt△SOP中，SO=（m），OP=BC=1（m），

∴SP==2（m），

则△SAB的面积S=×AB×SP=×2×2=2（m2）．

∴四棱锥的侧面积是4×2=8（m2），

即制造这个塔顶需要8m2铁板．

题型：简答题

简答题

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1．

（1）求证BD1⊥AC；

（2）求直线A1B与平面BB1D1D所成角的正弦值．

正确答案

解：（1）如图，以D为原点，以DC直线为Y轴，以DA直线为Z轴，建立空间直角坐标系．

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），D1（0，0，1）…（2分）

∴=（-2，-2，1），=（-2，2，0），…（3分）

∴•=4-4=0，…（4分）

∴BD1⊥AC…（5分）

（2）∵=（-2，-2，0），

∴=4-4=0，

∴BD⊥AC，…（7分）

∵BD∩BD1=B，

∴是平面BB1D1D的法向量…（8分）

∴与所成角θ的余弦值的绝对值等于直线A1B与平面BB1D1D所成角的正弦值，

∵cosθ==-．…（9分）

∴直线A1B与平面BB1D1D所成角的正弦值为．…（10分）

解析

解：（1）如图，以D为原点，以DC直线为Y轴，以DA直线为Z轴，建立空间直角坐标系．

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），D1（0，0，1）…（2分）

∴=（-2，-2，1），=（-2，2，0），…（3分）

∴•=4-4=0，…（4分）

∴BD1⊥AC…（5分）

（2）∵=（-2，-2，0），

∴=4-4=0，

∴BD⊥AC，…（7分）

∵BD∩BD1=B，

∴是平面BB1D1D的法向量…（8分）

∴与所成角θ的余弦值的绝对值等于直线A1B与平面BB1D1D所成角的正弦值，

∵cosθ==-．…（9分）

∴直线A1B与平面BB1D1D所成角的正弦值为．…（10分）

题型：简答题

简答题

在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是BC，A′D′的中点

（1）求直线A′C与DE所成的角的余弦值；

（2）求直线AD与平面B′EDF所成的角的余弦值；

（3）求面B′EDF与面ABCD所成的角的余弦值．

正确答案

解：（1）如图，

在平面ABCD内，过C作CP∥DE交直线AD于P，则∠A′CP（（或补角）为异面直线A′C与DE所成的角

在△A′CP中，A′C=a，CP=DE=a，A′P=a，

∴cos∠A′CP==，

∴异面直线A′C与DE所成的角为arccos；

（2）∵平面ADE⊥平面ADF

∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上，而四边形B′EDF是菱形

∴DB′为∠EDF的平分线

∴直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′．

在直角△B′AD中，AD=a，AB′=a，B′D=a，

∴cos∠ADB′==，

∴直线AD与平面B′EDF所成的角为arccos；

（3）连接EF、B′D，交于点O，显然O为B′D的中点，从而O为正方体的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心

作HM⊥DE，垂足为M，连接OM，则OM⊥DE，故∠OMH为面B′EDF与面ABCD所成的角．

在直角△DOE中，OE=a，OD=a，DE=a，

则由面积关系可得OM==a，

在直角△OHM中，sin∠OMH==，

面B1EDF与面ABCD所成的角为arcsin．

解析

解：（1）如图，

在平面ABCD内，过C作CP∥DE交直线AD于P，则∠A′CP（（或补角）为异面直线A′C与DE所成的角

在△A′CP中，A′C=a，CP=DE=a，A′P=a，

∴cos∠A′CP==，

∴异面直线A′C与DE所成的角为arccos；

（2）∵平面ADE⊥平面ADF

∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上，而四边形B′EDF是菱形

∴DB′为∠EDF的平分线

∴直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′．

在直角△B′AD中，AD=a，AB′=a，B′D=a，

∴cos∠ADB′==，

∴直线AD与平面B′EDF所成的角为arccos；

（3）连接EF、B′D，交于点O，显然O为B′D的中点，从而O为正方体的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心

作HM⊥DE，垂足为M，连接OM，则OM⊥DE，故∠OMH为面B′EDF与面ABCD所成的角．

在直角△DOE中，OE=a，OD=a，DE=a，

则由面积关系可得OM==a，

在直角△OHM中，sin∠OMH==，

面B1EDF与面ABCD所成的角为arcsin．

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