热门试卷

解：（1）∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D，

∴平面A1ACC1⊥平面ABC，

∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面A1ACC1，

∴BC⊥AC1，

∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B，

∴AC1⊥平面A1BC。

（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，

∵AC1⊥平面A1BC，

∴AC1⊥A1C，

∴四边形A1ACC1是菱形，

∵D是AC的中点，

∴∠A1AD=60°，

∴A（2，0，0），A1（1，0，），B（0，2，0）， C1（-1，0，），

∴=（1，0，），=（-2，2，0），

设平面A1AB的法向量=（x，y，z），

∴，

令z=1，

∴=（，，1），

∵=（2，0，0），

∴，

∴C1到平面A1AB的距离是。

（3）平面A1AB的法向量=（，，1），平面A1BC的法向量=（-3，0，），

∴，

设二面角A-A1B-C的平面角为θ，θ为锐角，

∴，

∴二面角A-A1B-C的余弦值为。

解：（1）∵EF⊥AB，

∴EF⊥PE

又∵PE⊥AE，EF∩AE=E，且PE在平面ACFE外，

∴PE⊥平面ACFE

∵EF⊥AB，CD⊥AB，

∴EF∥CD

∴

所以四边形ACFE的面积

∴四棱锥P-ACFE的体积

即；

（2）由（1）知

令V'（x）=0x=6

（3）如图，以点E为坐标原点，向量分别为x，y，z轴的正向建立空间直角坐标系

则E（0，0，0），P（0，0，6），，

于是

AC与PF所成角θ的余弦值为

∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为。

解：（Ⅰ）证明：在梯形中，

∵，，∠＝，

∴，  

∴，

∴，

∴⊥，  

∵平面⊥平面，

平面∩平面，

平面，

∴⊥平面。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可建立分别以直线

为建立如图所示的空间直角坐标系，

令，

则，，

∴，

设为平面MAB的一个法向量，

由得，

取，则，

∵是平面FCB的一个法向量，

∴

，   

∵，    

∴当时，有最小值；

当时，有最大值；

∴。

（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，

则DF=AB，

∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，

∴四边形ABFD为正方形，

∵O为BD的中点，

∴O为AF，BD的交点，

∵PD=PB=2，PO⊥BD，

∵,

∴，

在三角形PAO中，，

∴PO⊥AO，

∵，

∴PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，

又AB⊥AD，

所以过O分别做AD，AB的平行线，

以它们作x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知得：，

，，

，

则，

，

∴，

∴，

∵，

∴OE∥平面PDC；

（Ⅲ）解：设平面PDC的法向量为，

直线CB与平面PDC所成角θ，

则，解得，

令，

则平面PDC的一个法向量为，

又，

则，

∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为。