热门试卷

解：依条件可知AB，AC，AA1两两垂直，如图，

以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，

根据条件容易求出如下各点坐标： A(0，0，0)，B(0，2，0)，

C(-1，0，0)，A1(0，0，2)，，

，

(Ⅰ)证明：∵是平面ACC1A1的一个法向量，

且，所以，

又∵平面ACC1A1，

∴MN∥平面ACC1A1。

(Ⅱ)设n=（x，y，z）是平面AMN的法向量，

因为，

由，得，

解得平面AMN的一个法向量为n=（4，2，-1），

由已知，平面ABC的一个法向量为m=（0，0，1），

，

∴二面角M-AN-B的余弦值是。

（1）证明：，ED⊥面ABCD，

建立坐标系，

则，

，，

又面BFG，面BFG，

∴AC∥平面BGF。

（2）解：设点M的坐标为（x，0，0），

则，

设平面BGF的法向量为，则可求得=，

GM与平面BFG所成的角为θ，

则，

解得x=1，所以M是AD的中点。

（Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，

，，

连结，交于点O，连结OD，

由是直三棱柱，

得四边形为矩形，

O为A1C的中点，

又D为BC中点，

所以OD为中位线，

所以∥OD，             

因为平面，平面，

所以∥平面。           

（Ⅱ）解：由是直三棱柱，

且，

故两两垂直，

如图建立空间直角坐标系B-xyz ，      

∵BA=2，

则，

所以，，

设平面的法向量为，

则有所以，

取y=1，得，

易知平面ADC的法向量为，

由二面角是锐角，

得，

所以二面角的余弦值为。

（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E，

因为E 在线段上，，，

故可设，其中，

所以，，

因为与成60°角，

所以，即，

解得λ=1，舍去λ=3，

所以当点E为线段中点时，AE与DC1成60°角。

（Ⅰ）证明：（方法一）取A′B中点D，连接ED，DC，

因为E，D分别为AB，A′B中点，

所以ED=AA′，ED∥AA′，

所以ED=CF，ED∥CF，所以四边形EFCD为平行四边形，

所以EF∥CD，

又因为EF平面A′BC，CD平面A′BC′，

所以EF∥平面A′BC′。

证明：（方法二）取BC中点O，连接AO，OC′，

由题可得AO⊥BC，

又因为面ABC⊥面，

所以AO⊥面，

 ，

，所以，

可以建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设BC=2，可得，，，

，，，

所以，

所以

，

则，

不妨取，则，

所以，

（Ⅱ）（方法一）解：过F点作AA′的垂线FM交AA′于M，

连接BM，BF，

因为BF⊥CC′，CC′∥AA′，

所以BF⊥AA′，所以AA′⊥面MBF，

因为面ABC⊥面BCC′B′，所以A点在面BCC′B′上的射影落在BC上，

所以，

所以，

不妨设BC=2，则，

同理可得，

所以，

（方法二）由（Ⅰ）方法二可得

，

设面的一个法向量为，

则，

不妨取，

则；

又，

则，

不妨取，

则，

所以，

。