热门试卷

解：（1）∵点在底面上的射影落在上，

∴平面，平面，

∴，

又∵，

∴，，

∴平面。

（2）以为原点，为x轴，为轴，

过点且垂直于平面的直线为轴，

建立空间直角坐标系，

则，，，

，，

显然，平面的法向量，

设平面的法向量为，

由，即，，

∴，

∴，   

∴二面角的大小是45°。  

解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、

B1（2，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2 ）、F（0，2，1），

（1）取AD1中点G，则G（1，0，1），

=（1，-2，1），

又=（-1，2，-1），

由=，

∴与共线，

从而EF∥CG，

∵CG平面ACD1，EF平面ACD1，

∴EF∥平面ACD1。

（2）设面EFB的一个法向量，

由得，

故可取，

取底面ABCD的一个法向量，

由，

所成的锐二面角余弦值的大小为。

解：（1）由题意，得，

如图，以A为坐标原点，垂直于AC、AC、AE所在的直线为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，

由已知条件得

，

∴，

由，

得，

∴EM⊥BF。

（2）由（1）知，

设平面BEF的法向量为，

由，

令，

∴，

由已知EA⊥平面ABC，

所以取面ABC的法向量为，

设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，

则，

∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为。

解：(Ⅰ) 如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，

OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴，

建立空间直角坐标系O-xyz，

则A (0，0，2)，B (0，2，0)， D (0，1，)，

C (2sinθ，2cosθ，0)，

设=(x，y，z)为平面COD的一个法向量，

由，得

取z=sinθ，则=(cosθ，-sinθ，sinθ)．

因为平面AOB的一个法向量为=(1，0，0)，

由平面COD⊥平面AOB，得·=0，

所以cosθ=0，即θ=．　　　　　　　　　

(Ⅱ) 设二面角C-OD-B的大小为α，

由(Ⅰ)得当θ=时，cosα=0；当θ∈(，]时，tanθ≤-，

cosα===-，

故≤cosα＜0，

综上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为[，0]．