用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．

（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；

（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且DN=λDC，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．

正确答案

（Ⅰ）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），

∴=（0，1，1），=（1，0，-2），=（-1，-2，0）

设平面PCD的法向量是=（x，y，z），则

令z=1，则x=2，y=-1，于是

∵，∴，

∴AM∥平面PCD …（6分）

（Ⅱ）解：由点N是线段CD上的一点，可设

又面PAB的法向量为=（1，0，0）

设MN与平面PAB所成的角为θ

则===

∴ 时，即时，sinθ最大，

∴MN与平面PAB所成的角最大时 …（13分）

解析

（Ⅰ）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），

∴=（0，1，1），=（1，0，-2），=（-1，-2，0）

设平面PCD的法向量是=（x，y，z），则

令z=1，则x=2，y=-1，于是

∵，∴，

∴AM∥平面PCD …（6分）

（Ⅱ）解：由点N是线段CD上的一点，可设

又面PAB的法向量为=（1，0，0）

设MN与平面PAB所成的角为θ

则===

∴ 时，即时，sinθ最大，

∴MN与平面PAB所成的角最大时 …（13分）

题型：单选题

单选题

已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（　　）

正确答案

解析

解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥平面BDE，

∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，

在三棱锥E-ABD中，VE-ABD=S△ABD×EC=××2×2×=

在三棱锥A-BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S△EBD=×2×=2

∴VA-BDE=×S△EBD×h=×2×h=

∴h=1

故选 D

题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AP=2，AD=4，E，F依次是PB，PC的中点．

（1）求证：AD⊥平面PAB；

（2）建立适当的空间直角坐标系，求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

正确答案

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴PA⊥AD．

由矩形ABCD，AD⊥AB，

又AB∩AP=A，∴AD⊥平面PAB．

（2）解：分别AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2）．

∴E（1，0，1），F（1，2，1），=（1，4，-1），

取平面PAD的法向量为=（1，0，0），

设直线EC与平面PAD所成角为α，

则sinα====．

∴直线EC与平面PAD所成角的正弦值为．

解析

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴PA⊥AD．

由矩形ABCD，AD⊥AB，

又AB∩AP=A，∴AD⊥平面PAB．

（2）解：分别AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2）．

∴E（1，0，1），F（1，2，1），=（1，4，-1），

取平面PAD的法向量为=（1，0，0），

设直线EC与平面PAD所成角为α，

则sinα====．

∴直线EC与平面PAD所成角的正弦值为．

题型：简答题

简答题

如图，在直三棱柱中，底面边长为a的正三角形，AA′=a，求直线AB′与侧面AC′所成的角．

正确答案

解：取A‘C'的中点D，连接B'D，AD，

则由底面边长为a的正三角形，

得，B'D=a，B'D⊥A'C'，

在直三棱柱中，AA'⊥底面A'B'C'，

则AA'⊥B'D，即有B'D⊥平面AC'，

则∠B'AD即为直线AB′与侧面AC′所成的角，

在直角三角形B'AD中，B'D=a，AD==a，

则tan∠B'AD=，即有∠B'AD=30°．

故直线AB′与侧面AC′所成的角为30°．

解析

解：取A‘C'的中点D，连接B'D，AD，

则由底面边长为a的正三角形，

得，B'D=a，B'D⊥A'C'，

在直三棱柱中，AA'⊥底面A'B'C'，

则AA'⊥B'D，即有B'D⊥平面AC'，

则∠B'AD即为直线AB′与侧面AC′所成的角，

在直角三角形B'AD中，B'D=a，AD==a，

则tan∠B'AD=，即有∠B'AD=30°．

故直线AB′与侧面AC′所成的角为30°．

题型：简答题

简答题

如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE

（1）当平面A1DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面A1CE所成角的正弦值；

（2）设M为线段A1C的中点，求证：在△ADE翻转过程中，BM的长度为定值．

正确答案

解：（1）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，∴CE2+ED2=CD2，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．

又∵平面A1DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A1DE，∴CE⊥DA1．

又∵DA1⊥A1E，A1E∩EC=E，∴DA1⊥平面A1CE，∴∠A1CD即为直线CD与平面A1CE所成的角．

在Rt△A1CD中，sin∠A1CD==．

（2）如图所示，

由（1）可知：CE⊥平面A1ED，∴∠A1ED为A1-EC-D的二面角的平面角，且为45°．

取CE的中点O，连接BO、MO，由三角形的中位线定理可知：MO∥AE，=1，∴MO⊥CE；

在等腰Rt△EBC中，CO=OE=，则BO⊥CE．，∴∠MOB为二面角M-EC-B的平面角；

由图形可知：二面角A1-EC-D与二面角M-EC-B互补，因此二面角M-EC-B的平面角为135°．

又OB=，在△MOB中，由余弦定理可得MB2==5．

∴．

解析

解：（1）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，∴CE2+ED2=CD2，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．

又∵平面A1DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A1DE，∴CE⊥DA1．

又∵DA1⊥A1E，A1E∩EC=E，∴DA1⊥平面A1CE，∴∠A1CD即为直线CD与平面A1CE所成的角．

在Rt△A1CD中，sin∠A1CD==．

（2）如图所示，

由（1）可知：CE⊥平面A1ED，∴∠A1ED为A1-EC-D的二面角的平面角，且为45°．

取CE的中点O，连接BO、MO，由三角形的中位线定理可知：MO∥AE，=1，∴MO⊥CE；

在等腰Rt△EBC中，CO=OE=，则BO⊥CE．，∴∠MOB为二面角M-EC-B的平面角；

由图形可知：二面角A1-EC-D与二面角M-EC-B互补，因此二面角M-EC-B的平面角为135°．

又OB=，在△MOB中，由余弦定理可得MB2==5．

∴．

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