热门试卷

解：(Ⅰ)P，C，D，M四点不在同一平面内，

反证法：假设P，C，D，M四点在同一平面内．

∵DC∥AB，

∴DC∥面ABPM，

∵面DCPM∩面ABPM=PM，

∴DC∥PM，

又DC∥AB，

∴AB∥MP，这显然不成立，

∴假设不成立，即P，C，D，M四点不在同一平面内。

(Ⅱ)∵MA∥PB，MA⊥平面ABCD，

∴PB⊥平面ABCD，

∴PB⊥AC，

又由AC⊥BD，

∴AC⊥面PBD，

∵AC面PAC，

∴面PBD⊥面PAC。

(Ⅲ)如图，分别以BA，BC，BP为x，y，z轴， B为原点，

建立空间直角坐标系，

则，

，

设面PMD的法向量为，

则，

令x=1，得，

，

直线BD和平面PMD所成的角与互余，

所以，直线BD和平面PMD所成的角的正弦值为。

（1）解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，

∴∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角，

又正方体的棱长为，

∴AC=，A1C=，

∴。

（2）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

连接BD，DD1∥B1B，DD1=B1B，

∴DD1B1B为平行四边形，

∴D1B1∥DB，

∵E，F分别为BC，CD的中点，

∴EF∥BD，

∴EF∥D1B1， 

∵EF平面GEF，D1B1平面GEF，

∴D1B1∥平面GEF，

同理AB1∥平面GEF，

∵D1B1∩AB1=B1，

∴平面AB1D1∥平面EFG。

（1）证明：因为AB=2AD=2，BD=，所以AD=BC=1，CD=AB=2，

∴CD2=BC2+BD2，∴BC⊥BD，

∵底面ABCD为平行四边形，

∴AD⊥BD．

而BC⊂平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PBD…（5分）

（2）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，

又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD

所以∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=，

而BD=，所以PD=1…（7分）

分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），P（0，0，1）

所以=(-1，0，1)，=(-1，0，0)，=(0，-，1)，设平面PBC的法向量=(a，b，c)，

则，即，可得平面的一个法向量为=(0，1，)．

∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ===．…（12分）

（1）证明：因为AB=2AD=2，BD=，所以AD=BC=1，CD=AB=2，

∴CD2=BC2+BD2，∴BC⊥BD，

∵底面ABCD为平行四边形，

∴AD⊥BD．

而BC⊂平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PBD…（5分）

（2）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，

又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD

所以∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=，

而BD=，所以PD=1…（7分）

分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），P（0，0，1）

所以=(-1，0，1)，=(-1，0，0)，=(0，-，1)，设平面PBC的法向量=(a，b，c)，

则，即，可得平面的一个法向量为=(0，1，)．

∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ===．…（12分）