热门试卷

解（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，

∵F,O分别为BP，PC的中点，

∴FO∥BC，且,

又ABCD为平行四边形,ED∥BC，且,

∴FO∥ED，且FO=ED

∴四边形EFOD是平行四边形  

即EF∥DO   又EF平面PDC  

∴EF∥平面PDC．

（Ⅱ）以DC为x轴，过D点做DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系，

则有D (0 ,0 , 0)，C（2，0，0）,B（2，0，3），P（，A（0，0，3）                

设，

∴则   

设平面PBC的法向量为则  即  

取y=1得

∴AF与平面PBC所成角的正弦值为.   

（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，SD?平面SAD

∴平面SAD⊥平面ABCD，

∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD ∴AB⊥平面SAD，

∵DE?平面SAD ∴DE⊥AB．

∵SD=AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，

∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB

∴平面BED⊥平面SAB．

（2）解：  作AF⊥BE，垂足为F．

由（1），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，

所以∠AEF是直线SA与平面BED所成的角．

设AD=2a，则AB= a，SA=2 a，AE= a，

△ABE是等腰直角三角形，则AF=a．

在Rt△AFE中，sin∠AEF= = ，

∴∠AEF=45° 故直线SA与平面BED所成角的大小45°．

解：（1）以OC，OA，OS所在直线建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则S（0，0，1），C（2，0，0），A（0，1，0），B（1，1，0），

所以N（ ，0，0），M（ ， ， ）

∴ =（0，﹣ ，﹣ ）， =（1，﹣1，0）

∴直线MN与BC所成角的余弦值为 = 

∴直线MN与BC所成角为 ；

（2）设平面SAB的一个法向量为 =（a，b，c）

 =（a，b，c）·（1，1，﹣1）=a+b﹣c=0  

=（a，b，c）·（0，1，﹣1）=b﹣c=0

令b=1可得法向量  =（0，1，1）

∵ =（0，﹣ ，﹣ ），

∴直线MN与面SAB所成角的正弦值为| |= 

∴直线MN与面SAB所成角为   

（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．

∵F为CD的中点，

∴GF∥DE且．

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，

∴GF∥AB．

又，

∴GF=AB．

∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．

∵AF平面BCE，BG平面BCE，

∴AF∥平面BCE．

（2）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，

∴AF⊥CD．

∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，

∴DE⊥AF．

又CD∩DE=D，

故AF⊥平面CDE．

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．

∵BG平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．

（3）解：在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连BH．

∵平面BCE⊥平面CDE，

∴FH⊥平面BCE．

∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．

设AD=DE=2AB=2a，则

，，

Rt△FHB中，．

∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为．