热门试卷

解：（1）45°；

（2）30°。

（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，

所以A1O⊥AC．

又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，

所以A1O⊥平面ABC；

（Ⅱ）证明：以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=AC=1，

所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A1（0，0，），C1（-2，0，），E（-1，，）

则有：=(-1，0，)，=(-1，1，0)，=（-1，，）

设平面A1AB的法向量为=（x0，y0，z0），则由，可得

故可取=(，，1)

∴•=0

∵OE⊄平面A1AB

∴OE∥平面A1AB；

（III）∵C（-1，0，0），∴=（-1，0，-）

∵平面AA1B的一个法向量为=(，，1)

∴|cos＜，＞|=||=

∵因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量与所成锐角互余，

∴sinθ=

证明：（1）取AB中点G，连CG，GF，则GF∥BE，且GF=BE．

∴GF∥CD且GF=CD

∴四边形FGCD为平行四边形．∴DF∥CG，

∵CG⊂平面ABC又DF⊄平面ABC

∴DF∥平面ABC．

（2）设A到平面BDF距离为h，由VA-BDF=VD-ABF知h=

又△BDF中，BF=，BD=DF=，∴S△BDF=，S△ABF=S△ABE=1，CB=2，

∴h==

设AB与平面BDF所成角为θ，则sinθ==

解：如图，AB表示笔直向上行走的路线(AB⊥CA)，

α表示它与水平面所成的交角，

CB表示斜着向上行走的路线，β表示它与水平面所成的夹角，

它们所达到的高度都是BD，

现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大，越大越费力。

在Rt△BAD中，sinα=，①

在Rt△BCD中，sinβ=，②

比较①与②，因为AB、CB分别是直角三角形ABC的直角边和斜边，

也就是说AB＜CB，所以，＞，

又因为α、β都是锐角，所以，α＞β，

因此汽车沿着CB方向斜着向上开要省力，

山区修筑的公路，采取盘山而上的方法，也是这个道理。