热门试卷

（1）证明：连结AC、AC交BD于O，连结EO，

∵底面ABCD是正方形，

∴点O是AC的中点，

在△PAC中，EO是中位线，

∴PA∥EO，

而平面EDB且平面EDB，

所以，PA∥平面EDB。

（2）解：作EF⊥DC交CD于F，连结BF，

设正方形ABCD的边长为a，

∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥DC，

∴EF∥PD，F为DC的中点，

∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，

故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角，

在Rt△BCF中，

，

∵，

∴在Rt△EFB中，，

所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为。

（Ⅰ）证明：取CD的中点M，连结OM，

在矩形ABCD中，，

又，则，

连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形，

∴FO∥EM，

又平面CDE，且EM平面CDE，

∴FO∥平面CDE。

（Ⅱ）连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM，

EM⊥CD，且，

又，

因此，平行四边形EFOM为菱形，

过E作EG⊥OM于G，

∵CD⊥EM，CD⊥OM，

∴CD⊥平面EOM，∴CD⊥EG，

因此，EG⊥平面ABCD，所以，∠EGC为EC与底面ABCD所成角，

在△EOM中，，则△EOM为正三角形，

∴点E到平面ABCD的距离为，

所以，，

即EC与平面CDF所成角的正弦值为。

（1）证明：四棱柱中，，

又面，

所以平面，

ABCD是正方形，所以CD∥AB，

又面，

所以CD∥平面，

所以，平面平面，

所以，平面。

（2）解：ABCD是正方形，AD⊥CD，

因为平面ABCD，所以，，，

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，

在中，由已知可得，

所以，，

，，

因为平面ABCD，

所以平面，，

又，

所以平面，

所以平面的一个法向量为，

设与n所成的角为β，

又，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为。

(Ⅰ)证明：取A'D的中点G，连结GF，GE，

由条件易知，

所以FC∥BE，FG=BE，

故四边形BEGF为平行四边形，

所以BF∥EG，

因为EG平面A′DE，BF平面A′DE，

所以BF∥平面A′DE。

(Ⅱ)在平行四边形ABCD中，设BC=a，

则AB=CD=2a，AD=AE=EB=a，连结CE，

因为∠ABC=120°，

在△BCE中，可得CE=a，

在△ADE中，可得DE=a，

在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE，

在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE，

由平面A′DE⊥平面BCD，可知A′M⊥平面BCD，A′M⊥CE，

取A′E的中点N，连结NM，NF，

所以NF⊥DE，NF⊥A′M，

因为DE交A′M于M，所以NF⊥平面A′DE，

则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成角，

在Rt△FMN中，，

则，

所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为。