热门试卷

解：（1）如图，过F作FH∥EA交AB于H，连接HC，

∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，

∴EA∥DC

又∵FH∥EA

∴FH∥DC

而F是EB的中点，

∴FH=AE=DC

∴四边形CDFH是平行四边形

∴DF∥HC

又HC平面ABC，DF平面ABC，

∴DF∥平面ABC； 

（2）△ABC为正三角形，H为AB中点，

∴CH⊥AB

∵EA⊥平面ABC，CH面ABC，

∴CH⊥EA

又∵EA∩AB =A，EA、AB平面EAB，

∴CH⊥平面EAB

∵DF∥CH，

∴DF⊥平面EAB

∴AF为DA在平面EAB上的射影，则∠DAF为直线AD与平面AEB所成角，

在Rt△AFD中，，

所以直线AD与平面AEB所成角的正弦值为。 

建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，

设B（1，0，0），则D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0）E(0，，)，F(，1，)（2分）

（Ⅰ）设平面AEC的一个法向量为=(x，y，z)，

∵=(0，，)，=(1，2，0)，

∴由，

得，

令y=-1，得=(2，-1，4)（4分）

又=(-，1，)，

∴•=2×(-)+(-1)×1+4×=0，（5分）

⊥，BF⊄平面AEC，

∴BF∥平面AEC．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为=(2，-1，4)，

又=(0，0，1)为平面ACD的法向量，（8分）

而cos＜，＞==，（11分）

故二面角E-AC-D的余弦值为（12分）

（Ⅰ）证明：连接BD，MO，

在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，

又M为PD的中点，所以PB∥MO。

因为平面ACM，平面ACM，

所以PB∥平面ACM。

（Ⅱ）证明：因为，且AD=AC=1，

所以，即AD⊥AC，

又PO⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以PO⊥AD，

而AC∩PO=O，

所以AD⊥平面PAC。

（Ⅲ）解：取DO的中点N，连接MN，AN，

因为M为PD的中点，

所以MN∥PO，且，

由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，

所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，

在Rt△DAO中，，

所以，

从而，

在Rt△ANM中，，

即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为。

（1）证明：连接EO，OA．

∵E，O分别是C、BC的中点，

∴EO∥B，又DA∥B，且DA=EO=B，

∴四边形AOED是平行四边形，即DE∥OA，DE面ABC，

∴DE∥面ABC．

2）解：作过C的母线C，连接，则是上底面的直径，

连接O1，得O1∥AO，

又AO⊥面CB，

所以，O1⊥面CB，

连接CO1，则∠CO1为C与面BC所成角，

设B=BC=2，则C==，O1=1，

在RT△O1C中，sin∠CO1==