热门试卷

（I）证明：连结AB1交A1B于E，连ED．

∵ABC-A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1，

∴侧面ABB1A是一正方形．

∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点．

∴在△AB1C中，ED是中位线．

∴B1C∥ED．∴B1C∥平面A1BD．…（4分）

（II）证明：∵AC1⊥平面ABD，∴AC1⊥A1B，

又∵侧面ABB1A是一正方形，∴A1B⊥AB1．

∴A1B⊥平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．

又∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1．

∴B1C1⊥平面ABB1A1．…（8分）

（III）由上问知B1C1⊥平面ABB1A1．∴BC⊥平面ABB1A1．∴BC⊥AB．

以BA、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

不妨设AB=BC=BB1=1，则显然B、D、A1、C1各点的坐标分别是

B（0，0，0），D（，，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）．

由图形可知二面角B-A1C1-D的平面角为锐角，

∴二面角B-A1C1-D的大小为arccos．…（12分）

解：（1）作，垂足为，连结，

由侧面底面，得平面．  

因为，所以．

又，

为等腰直角三角形，．

如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系

，，，，，， ，

所以

（2）取中点，，连结，

取中点，连结，

．，，．

，，

与平面内两条相交直线，垂直．

所以平面，

与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．

，．

，

所以

（3）由上知为平面SAB的法向量，。

易得,

同理可求得平面SDA的一个法向量为

由题知所求二面角为钝二面角，故二面角D-SA-B的大小为。

（Ⅰ）证明：连接EF，

由已知得∠EPF=60°，且FP=1，EP=2，

故PF⊥EF，

又FC1=PB1，

故PF⊥B1F，

因EF∩B1F=F，

故PF⊥平面B1EF；

（Ⅱ）解：连接AB1，作B1O⊥EF于O，

由（Ⅰ）知PF⊥平面B1EF，而PF平面AEPF，

故平面B1EF⊥平面AEPF，

∵平面B1EF∩平面AEPF=EF，

∴B1O⊥平面EPF，

∴∠B1AO就是AB1与平面EFP所成的角，

∵AE∥PF，

∴AE⊥EB1，

∵AE=1，EB1=2，

∴，

在△B1EF中，B1E=2，B1F=EF=，

∴，

则B1O=B1F·sin∠B1FE=，

故。

MN和PB的位置如右图示：（正确标出给1分）

（Ⅰ）证明：∵ND∥MB 且ND=MB

∴四边形NDBM为平行四边形

∴MN∥DB------------------------（3分）

∵NM⊄平面PDB，DB⊂平面PDB

∴MN∥平面PBD---------------------------------（4分）

（Ⅱ）证明：∵QC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥QC-------------（5分）

又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面AQC，--------------------------（6分）

∵AQ⊂面AQC，∴AQ⊥BD，

同理可得AQ⊥PB，

∵BD∩PB=B

∴AQ⊥面PDB---------------------------------------------------------------------（8分）

（Ⅲ）解法1：分别取DB、MN中点E、F，连结PE、EF、PF------------------（9分）

∵在正方体中，PD=PB

∴PE⊥DB---------------------------------（10分）

∵四边形NDBM为矩形

∴EF⊥DB

∴∠PEF为二面角P-DB-M的平面角------------（11分）

∵EF⊥面PMN，∴EF⊥PF

设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中

∵EF=a，PF=a，

∴tan∠PEF==-----（14分）

解法2：设正方体的棱长为a，

以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图示：

则点A（a，0，0），P（a，0，a），Q（0，a，a）--------------（9分）

∴=(-a，a，0)，=(-a，a，a)--------------（10分）

∵PQ⊥面DBM，由（Ⅱ）知AQ⊥面PDB

∴、分别为平面PDB、平面DBM的法向量-------------------（12分）

∴cos＜，＞===

∴tan＜，＞=------------------------------------------（14分）]