热门试卷

（1）证明：取BC的中点O，连接EO，AO，则EO//DC，

所以EO⊥BC，

因为△ABC为等边三角形，所以BC⊥AO，

所以BC⊥面AEO，

故BC⊥AE。

（2）解：连接PE，

因为面BCD⊥面ABC，DC⊥BC，

所以DC⊥面ABC，

而EODC，

所以EOPA，故四边形APEO为矩形，

易证PE⊥面BCD，

连接EF，则∠PFE为PF与面DBC所成的角， 

又PE⊥面BCD，

所以，

∴∠BEF为面PBE与面PFE所成的角，即，

此时点F即在线段BO上移动，设DC=BC=2PA=2，则，

，

所以直线PF与平面DBC所成的角的范围为。

（1）证明：平面PAD⊥底面ABCD，

又AB⊥AD，

由面面垂直的性质定理得， AB⊥平面PAD。

（2）解：取AD的中点为O，则PO⊥AD，

又平面PAD⊥底面ABCD，

则PO⊥底面ABCD，

连接CO ，∠PCO为直线PC与底面ABCD所成的角，

在Rt△PCO中，，

。

（3）解：取BC中点为E，连接OE ，

AD⊥平面POE，BC∥AD，

∴BC⊥平面POE，平面POE⊥平面PBC，

在Rt△POE中，作OF⊥PE于F，

OF=，

∴点D到平面PBC的距离为。

（1）证明：依题意知图①折前AD⊥AE，CD⊥CF，

∴PD⊥PE，PF⊥PD，

∵PE∩PF=P，

∴PD⊥平面PEF

又∵EF平面PEF，

∴PD⊥EF

（2）依题意知图①中AE=CF=，

∴PE=PF=，

在△BEF中，

在△PEF中，PE2+PF2=EF2，

∴PE⊥PF

∴

∴=．

（3）解：由（2）知PE⊥PF，

又PE⊥PD，

∴PE⊥平面PDF

∴∠PDE为DE与平面PDF所成的角，

在Rt△PDE中，

∵，

∴

解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2和1的矩形，

侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2

所以BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A

∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．

又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中点，

∴AE⊥PB．又BC∩PB=B，

∴AE⊥平面PBC，

又PF面PBC．

∴AE⊥PF．

（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

则P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，，0）．

∴．

设，是平面EAC的一个法向量，则由得即

取x=1得．

而，

∴．

设直线BO与平面AEC所成角为α，则sinα=．

∴直线BO与平面AEC所成角的正弦值为．