热门试卷

证明：(Ⅰ)如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，

则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，

得AD⊥平面A1BC，

又BC平面A1BC，所以AD⊥BC，

因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，

则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC，

又AA1∩AD=A，

从而BC⊥侧面A1ABB1，

又AB侧面A1ABB1，

故AB⊥BC。

(Ⅱ)连接CD，则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，

∠ABA1就是二面角A1-BC-A的夹角，即∠ACD=θ，∠ABA1=ψ，

于是在RtΔADC中，sinθ=，

在RtΔADA1中，sin∠AA1D==，

∴sinθ=sin∠AA1D，由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ=∠AA1D，

又由RtΔA1AB知，∠AA1D+ψ=∠AA1B+ψ=，

故θ+ψ=。

解：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，

其对角线BD，AC交于点E，

∴PA⊥BD，AC⊥BD，

∴BD⊥平面APC，

平面PAC，

∴BD⊥FG；

（Ⅱ）当G为EC中点，即时，FG∥平面PBD；

理由如下：连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD，

故FG∥平面PBD．

（Ⅲ）作BH⊥PC于H，连结DH，

∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD是二面角B-PC-D的平面角， 

即，

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

连结EH，则，

∴，而BE=EC，

∴，

∴，

∴，

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是。

解：(Ⅰ)在梯形ABCD中，AC=DC=，AD=2，

∴AC2+DC2=AD2，

∴AC⊥DC，

又BO⊥平面ACD，

∴BO⊥AC，

又AB=CB，

∴O为AC中点，

以O为坐标原点，以OA．OB所在直线分别为x，z轴，

以过O且平行于CD的直线为y轴建立空间直角坐标系，

则，

∴，

∴，∴AB⊥CD，

又AB⊥BC，

∴AB⊥平面BCD。

(Ⅱ)∵，

∴，

∴，即异面直线BC与AD所成的角为60°。

(Ⅲ)平面ACD的法向量，

设平面ABD的法向量为n=（x，y，z），

则，即，解得：，

取z=1，∴n=（1，1，1），

设二面角B-AD-C的平面角为θ，则。

解：（Ⅰ）如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，

则

，

∴，

，

，

又AC与AD1交于A点，

，

∴B1D⊥平面D1AC；

（Ⅱ）设A1D与D1O所成的角为θ，

，

∴，

∴，

所求异面直线A1D与D1O所成角的余弦值为；

（Ⅲ）设平面AEC与直线D1O所成的角为φ，

设平面AEC的法向量为，

，

，

，

令z=1，则，

∴，

∴，

所求平面AEC与直线D1O所成角的正弦值为。