- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
已知如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且AG=
(Ⅰ)求证：PC⊥BG；
(Ⅱ)求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
(Ⅲ)若F是PC上一点，且DF⊥GC，求
正确答案
(Ⅰ)证明：因为PG⊥平面ABC，
所以PG⊥BC，
又BG⊥CG，
所以BG⊥面PCG，
所以PC⊥BG。
(Ⅱ)解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如图所示，
∴
(Ⅲ)设
则点
又
∴
由DF⊥DC，得
∴
∴
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB= 90°， AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点，
(Ⅰ)求证：PE⊥CD；
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积；
(Ⅲ)求PC与平面PDE所成角的正弦值。
正确答案
(Ⅰ)证明：因为AD⊥侧面PAB，PE
所以AD⊥PE，
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的巾点，
所以PE⊥AB，
因为AD∩AB=A，
所以PE⊥平面ABCD，而CD
所以PE⊥CD。
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：PE⊥平面ABCD，
所以PE是四棱锥P-ABCD的高，
由DA=AB=2，BC=
因为△PAB是等边三角形，
可求得
所以，
(Ⅲ)解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz，
则
设
由
令x=1，可得
设PC与平面PDE所成的角为θ，
所以，PC与平面PDE所成的角的正弦值为
如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC， DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点。
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求CM与平面CDE所成的角。
正确答案
解：如图所示，取ED中点F，连结FM，
由EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC知，AE//BD，
又AE≠BD，则四边形AEDB为平行四边形，
∴FM//DB//AE，
∴FM⊥平面ABC，
又AC=BC，M为AB的中点，
∴CM⊥AB，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设AE=，则BD=AC=BC=2，
（1）
（2）设平面CDE的法向量
由
∴
如图，两矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面所成角分别为30°、45°， M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1。
（Ⅰ）求证：MN⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求线段AB的长；
（Ⅲ）求二面角A-DE-B的平面角的正弦值。
正确答案
（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，EB⊥AB，
∴EB⊥平面ABCD，
又MN∥EB，
∴MN⊥面ABCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知∠EDB为DE与平面ABCD所成的角，
∴∠EDB=30°，
又在Rt△EBD中，EB=2MN=2，∠EBD=90°，
∴DE=
连结AE，可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角，
∴∠DEA=45°，
在Rt△DAE中，∠DAE=90°，
∴AE=DE·cos∠DEA=2
在Rt△ABE中，
（Ⅲ）解：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH，
∵AD⊥平面ABEF，BO
∴BO⊥平面ADE，
∴OH为BH在平面ADE内的射影，
∴BH⊥DE，即∠BHO为所求二面角的平面角，
在Rt△ABE中，BO=
在Rt△DBE中，由BH·DE=DB·OE得BH=
∴sin∠BHO=
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。
（1）证明：DE⊥平面PBC；
（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
正确答案
（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥BC，
又∵底面ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
又PD∩DC=D，
∴BC⊥面PDC，
又DE
∴DE⊥BC， ①
在Rt△PDC中，PD=DC，E是PC的中点，
∴DE⊥PC， ②
又PC∩BC=C， ③
由①②③得，DE⊥面PBC。
（2）解：作EF⊥DC交CD于F，连结BF，
设正方形ABCD的边长为，
∵ PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥DC，
∴EF∥PD，F为DC的中点，
∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，
故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角。
在RtΔBCF中，
∵
∴在RtΔEFB中，
所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为
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