- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点，
（Ⅰ）求证：EF垂直于平面PAB；
（Ⅱ）设AB=
正确答案
（Ⅰ）证明：取PA中点G，连结FG，DG，
（Ⅱ）解：设AC，BD交于O，连结FO，
设BC=a，则AB=
∴PA=
∴PB=2a，AF=a，
设C到平面AEF的距离为h，
∵VC-AEF=VF-ACE，
∴
即
∴AC与平面AEF所成角的正弦值为
即AC与平面AEF所成角为
如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=
（1）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE；
（2）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ·tanφ=1，求λ的值。
正确答案
解：（1）如图，连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。
SD⊥平面ABCD，
∴BD是BE在平面ABCD上的射影，
∴AC⊥BE。
（2）如图，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=
∵SD⊥平面ABCD，CD
∴SD⊥CD。
又底面ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD
连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，
故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=θ。
在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=
∴
在Rt△ADE中，∵
∴
从而
在
由
由
在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点，
（Ⅰ）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．
正确答案
（Ⅰ）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB，
又EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EM。
（Ⅱ）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，
连结CH交延长交ED于点F，连结MF，MD，
∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角，
因为MH⊥平面CDE，所以MH⊥ED，
又因为CM⊥平面EDM，
所以CM⊥ED，则ED⊥平面CMF，
因此ED⊥MF，
设
在直角梯形ABDE中，
所以
得△EMD是直角三角形，其中
所以
在Rt△CMF中，
所以
故CM与平面CDE所成的角是45°。
在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点，
（Ⅰ）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求DE与平面EMC所成角的正切值。
正确答案
（Ⅰ）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，
所以CM⊥AB，
又因为EA⊥平面ABC，
所以CM⊥EM；
（Ⅱ）解：连结MD，设AE=a，
则BD=BC=AC=2a，
在直角梯形ABDE中，
AB=
所以
因此DM⊥EM，
因为CM⊥平面EMD，
所以CM⊥DM，
因此DM⊥平面EMC，
故∠DEM是直线DE和平面EMC所成的角，
在Rt△EMD中，
tan∠DEM=
如图，四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=
（Ⅰ）证明：BC⊥侧面PAB；
（Ⅱ）证明：侧面PAD⊥侧面PAB；
（Ⅲ）求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小。
正确答案
（Ⅰ）证明：∵侧面PAB垂直于底面ABCD，且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB，
在矩形ABCD中，BC⊥AB，
∴BC⊥侧面PAB。
（Ⅱ）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，BC⊥侧面PAB，
∴AD⊥侧面PAB，
又AD在平面PAD上，
所以，侧面PAD⊥侧面PAB。
（Ⅲ）解：在侧面PAB内，过点P做PE⊥AB.垂足为E，连结EC，
∵侧面PAB与底面ABCD 的交线是AB，PE⊥AB，
∴PE⊥底面ABCD，
于是EC为PC在底面ABCD内的射影，
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角，
在△PAB和△BEC中，易求得PE=
∴在Rt△PEC中，∠PCE=45°。
扫码查看完整答案与解析