- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC，
(Ⅰ)求证：BC⊥平面PAC；
(Ⅱ)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；
(Ⅲ)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．
正确答案
(Ⅰ)证明：∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC，
又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC。
(Ⅱ)解：∵D为PB的中点，DE∥BC，∴
又由(Ⅰ)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴
∴在Rt△ADE中，
∴AD与平面PAC所成的角的大小为
(Ⅲ)解：∵DE∥BC，又由(Ⅰ)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，
又∵AE
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，
∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，∠AEP=90°，
故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角。
如图，在圆锥PO中，已知PO= 
（1）证明：AC⊥平面POD；
（2）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值。
正确答案
解：（1）因为
所以AC⊥OD
又PO⊥底面⊙O，AC
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线
所以AC⊥平面POD；
（2）由（1）知，AC⊥平面POD，又AC
所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC
连接CH，则CH是OC在平面上的射影，
所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角
在Rt△POD中，
在Rt△OHC中，
如下图，在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=
(1)求证：DE⊥PC；
(2)求直线PD与平面BCDE所成角的正弦值．
正确答案
(1)证明：在梯形ABCD中，连结CE，则易知四边形ADCE为菱形，
连接AC交DE于F，则AC⊥DE，
连接PF，则PF⊥DE，
又AC∩PF=F，
∴DE⊥平面PCF，
∴DE⊥PC。
(2)解：过点P作PO⊥平面ADE，则易知点O在AC上，连接OD，
则∠PDO即为直线PD与平面BCDE所成的角，
∵二面角P-DE-C的大小为120°，且可知∠PFC即为二面角的平面角，
∴∠PFO=60°，
又PF=
∴OP=
∴
已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC= AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．
正确答案
证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M（1，0，
（Ⅰ）
因为
所以CM⊥SN
（Ⅱ）
设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则
令x=2，得a=（2，1，﹣2）．因为
三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3。
（1）求证：AB⊥BC ；
（2）如果AB=BC=2
正确答案
解：（1）取AC中点O，连结PO、BO
∵PA=PC
∴PO⊥AC
又∵侧面PAC⊥底面ABC
∴PO⊥底面ABC
又PA=PB=PC
∴AO=BO=CO
∴△ABC为直角三角形
∴AB⊥BC。
（2）取BC的中点为M，连结OM，PM，
所以有OM=
∴
由（1）有PO⊥平面ABC，OM⊥BC，
由三垂线定理得PM⊥BC
∴平面POM⊥平面PBC，
又∵PO=OM=
∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中点N，连结ON，NC
则ON⊥PM，
又∵平面POM⊥平面PBC，且交线是PM，
∴ON⊥平面PBC
∴∠ONC即为AC与平面PBC所成的角
∴
∴
故AC与平面PBC所成的角为
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