- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．
正确答案
解：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A，
∴PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC．∴BC⊥平面PAC．
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，
又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD=
∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴BC=
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是
如图，四棱锥
（1）证明：
（2）设二面角
正确答案
解：设
（1）证明：由
所以
所以
所以
（2） 设平面
又
由
设平面
又
由
由于二面角
所以
所以
所以
如图，边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，点F为BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A1．
（1）求证：A1D⊥EF；
（2）M为EF的中点，求DM与面A1EF所成角的正弦值．
正确答案
（1）证明：由题知，∵A1D⊥A1E，A1D⊥A1F，A1E∩A1F=A
∴A1D⊥平面A1EF
∵EF
∴A1D⊥EF
（2）解：由（1）知 A1D⊥平面 A1EF，连接A1M，则
∠A1MD为DM与面A1EF所成角
∵边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，点F为BC的中点
∴|BD|=2
在直角△A1MD中，|A1D|=2，
∴sin∠A1MD=
∴DM与面A1EF所成角的正弦值为
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点，
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求BD与平面ADMN所成的角。
正确答案
（Ⅰ）证明：因为N是PB的中点，PA=AB，
所以AN⊥PB，
因为AD⊥面PAB，所以AD⊥PB，
从而PB⊥平面ADMN，
因为
所以PB⊥DM。
（Ⅱ）解：连结DN，
因为PB⊥平面ADMN，
所以∠BDN是BD与平面ADMN所成的角，
在Rt△BDN中，
故BD与平面ADMN所成的角是
如图，在圆锥PO中，已知PO=
（Ⅰ）证明：AC⊥平面POD；
（Ⅱ）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．
正确答案
解（I）因为OA=OC，D是AC的中点，
所以AC⊥OD
又PO⊥底面⊙O，AC
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线
所以AC⊥平面POD
（II）由（I）知，AC⊥平面POD，又AC
所以平面POD⊥平面PAC 在平面POD中，
过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC 连接CH，
则CH是OC在平面上的射影，
所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角在Rt△ODA中，OD=OA．sin30°=
在Rt△POD中，OH=
在Rt△OHC中，
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