热门试卷

（Ⅰ）证明：在正方体中，，

又由已知可得，

 所以，

所以PH⊥平面PQEF，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是

，是定值．

（Ⅲ）解：连结BC′交EQ于点M，

因为，

所以平面和平面PQGH互相平行，

因此D′E与平面PQGH所成角与D′E与平面ABC′D′所成角相等，

与（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，

可知EM⊥平面ABC′D′，

因此EM与D′E的比值就是所求的正弦值．

设AD′交PF于点N，连结EN，由FD=1-b知

，

因为AD′⊥平面PQEF，又已知D′E与平面PQEF成45°角，

所以，

即，

解得，可知E为BC中点，所以EM=，

又，

故D′E与平面PQCH所成角的正弦值为。

（1）证明：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD，

因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，

又AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，

因此有PD⊥平面ABM，

所以平面ABM⊥平面PCD。

 （2）解：设平面ABM与PC交于点N，因为AB∥CD，

所以AB∥平面PCD，则AB∥MN∥CD，

由（1）知，PD⊥平面ABM，

则MN是PN在平面ABM上的射影，

所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，

且，

，

所求角为。

（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，

由（1）知，PD⊥平面ABM于M，则|DM|就是D点到平面ABM的距离，

因为在Rt△PAD中，PA=AD=4，PD⊥AM，

所以M为PD的中点，，

则O点到平面ABM的距离等于。

解：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，

则，

∵BD：DC=1：2，

∴，

∴D点的坐标为，

∴，，

，

，，

∴，，

又，

∴BC⊥平面，

又平面，

∴平面平面。

（Ⅱ）设平面的法向量为，则，

即，

取，得，

∴，

因此，AA1与平面BCC1B1所成角的正弦值为。