热门试卷

（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC，

∴AC⊥平面PDB，

∴平面AEC⊥平面PDB．

（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

∴O，E分别为DB、PB的中点，

∴OE∥PD， ，

又∵PD⊥底面ABCD，

∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中， ，

∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．

解：（Ⅰ）证明：折叠前，在矩形ABCD中，易得AE⊥BE，

因面DAE⊥面ABCE，AE⊥BE，BE面ABCE，

所以由面面垂直的性质定理，有BE⊥面DAE，

又由面面垂直的判定定理，

有面ADE⊥面BEQ。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知BE⊥面DAE，故∠BDE是直线BD与面ADE所成的角，

在Rt△BED中，，

故直线BD与面ADE所成角的正切值为；

（Ⅲ）设点Q到面ADE的距离为h，

∵DQ∥EC且DQ=EC，

∴四边形DQCE为平行四边形，

∴QG∥DE，从而QC∥面ADE，

故点Q到面ADE的距离等于点C到面ADE的距离，

由易得。

解：（1）由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面ABC

又DE平面ABC，

所以DE⊥AA1而DE⊥A1E，AA1∩A1E=A1，

所以DE⊥平面ACC1A1又DE平面A1DE，

故平面A1DE⊥平面ACC1A1。

（2）过点A作AF垂直于点，连接DF

由（1）知，平面⊥平面，

所以AF平面，

故直线AD和平面A1DE所成的角。

因为DE⊥

所以DE⊥AC

而△ABC是边长为4的正三角形，

于是AD=2，AE=4-CE=4-=3

又因为AA1=

所以A1E===4

，

即直线AD和平面所成的角的正弦值为。

解：（1）证明：因为PH是四棱锥P-ABCD的高，

所以AC⊥PH

又AC⊥BD，

所以AC⊥平面PBD，

又AC平面PAC

所以平面PAC⊥平面PBD。

（2）解：因为四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，

所以HA=HB=

因为∠APB=∠ADB=60°，

所以PA=PB=，HD=HC=1

所以PH=

所以等腰梯形ABCD的面积为

所以四棱锥P-ABCD的体积为。

（3）解：过H作HE⊥AD于E，连接PE，如图，

则PE⊥AD

∴AD⊥平面PEH

又AD平面PAD，

∴平面PEH⊥平面PAD

过H作HG⊥PE于G，则HG⊥平面PAD

∴∠HPG为PH与平面PAD所成的角

∵，DH=1

∴AD=2

∴

又

∴

即

故PH与平面PAD所成的角为。