热门试卷

解：设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连接A1O，

在中，，

∴，

∴，∴，

由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，A1O⊥平面ABCD，

以OB，OC，OA，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则，

，

 (Ⅰ)由于，

，

∴。

(Ⅱ)由于OB⊥平面AA1C1C，

∴平面AA1C1C的一个法向量为，

设平面AA1D，则，

设，则，

取，

∴，

所以二面角D-AA1-C的平面角的余弦值为。

(Ⅲ)假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，

设，则，

从而有，

设平面DA1C1，则，

又，

设，，取，

因为BP∥平面DA1C1，则，

即，得λ=-1，

即点P在C1C的延长线上，且C1C=CP。

解：(1)如图，在△ABC中，E、F分别是AC、BC的中点，

∴EF∥AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF，

∴AB∥平面DEF。

(2)以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，

建立空间直角坐标系，

则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，2，0），

，

平面CDF的法向量为，

设平面EDF的法向量为，

则，

取，

，

所以平面BDC与平面DEF夹角的余弦值为。

(3)在平面坐标系xDy中，

直线BC的方程为，

设，

∴

，

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE。

解：以A为原点，以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z的正半轴建立空间直角坐标系，

由AB=AC=AA1=2，

可知各点坐标分别为：A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，

B1(2，0，2)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，D(1，0，1)，

（1）

设点G（-1，2，0），则，

∴，

，，

∴DE∥平面ABC；

（2）证明：，

∴，

，

∴，

又，

∴，

∵，

∴平面B1FA⊥平面AEF；

（3）由（2）可知是平面AEF的一个法向量，

设二面角B1-AE-F的大小为θ，根据已知得θ为锐角，

设平面AEB1的一个法向量为，

，

∴，解得，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴二面角B1-AE-F的大小为。

证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD，

建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，

则A（，0，0），B（，1，0），C（，1，0），

D（，0，0），V（0，0，），

∴，

由，

，

又AB∩AV=A，

∴AB⊥平面VAD。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量，

设是面VDB的法向量，

则

，

∴，

又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，

所以其大小为。