- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O为BC的中点。
（1） 求证：AO∥平面DEF；
（2） 求证：平面DEF⊥平面BCED；
（3） 求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值。
正确答案
解：（1）取DE的中点G，建系如图，则A（0，
设平面DEF的一法向量
则
∴
∴
又OA
∴OA//平面DEF；
（2）显然，平面BCED的一法向量为
∴平面DEF⊥平面BCED；
（3）由（1）知平面DEF的一法向量
cos<
∴求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值为
如图，直三棱柱A1B1C1-ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分别为棱C1C、B1C1的中点。
（1）求点E到平面ADB的距离；
（2）求二面角E-A1D-B的平面角的余弦值；
（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1DB？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由。
正确答案
解：（1）如图所示，以CB为x轴，CA为y轴，
建立空间直角坐标系，
由
可得C（0，0，0，）， A（0，2，0），
B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2），
则
设平面ADB的法向量为
得
即
则取法向量为
则点E到平面ADB的距离
（2）
可得
设平面的法向量为
故可令
可得
设平面的法向量为
故可令
即求二面角
（3）假设存在点F，坐标为（0，y，0），则
由EF⊥平面
即
∴F（0，1，0）即为AC的中点。
如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h，
（Ⅰ）求cos
（Ⅱ）记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，求cos∠BED的值。
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知B（a，a，0），C（-a，a，0），D（-a，-a，0），E
由此得
∴
由向量的数量积公式有
（Ⅱ）若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，则
又由C（-a，a，0），V（0，0，h），有
∴
这时有
即
如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m。
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60°；
（2）在线段A1C上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q⊥AP，并证明你的结论。
正确答案
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，
D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，2)，
所以，
又由
设AP与面
则，
解得：
故当
（2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，
则
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，
等价于
即Q为A1C1的中点时，满足题设的要求。
在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=
（1 ）求证：SA⊥平面ABCD ；
（2 ）求二面角E ﹣AC ﹣D 的正切值；
（3 ）在线段BC 上是否存在点F ，使SF∥ 平面EAC ？若存在，确定F 的位置，若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（1）在题图1中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，
所以在题图2中，SA⊥AB，SA=2，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为SB⊥BC，AB⊥BC，
所以BC⊥平面SAB，
又SA包含于平面SAB，
所以BC⊥SA，
又SA⊥AB，
所以SA⊥平面ABCD；
（2）在AD上取一点O，使
因为
所以EO∥SA，
所以EO⊥平面ABCD，
过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，则AC⊥平面EOH，
所以AC⊥EH，
所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，
在Rt△AHO中，
即二面角E﹣AC﹣D的正切值为
（3）当F为BC中点时，SF∥平面EAC，
理由如下：
取BC的中点F，连接DF交AC于M，连接EM，AD∥FC，
所以
又由题意
所以SF∥平面EAC，
即当F为BC的中点时，SF∥平面EAC。
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