热门试卷

（1 ）证明：作EG⊥A1C于G      

∵E是BB1的中点，且A1B1=BC      

∴EA1=EC   

∴G是A1C的中点   

又连结AC1，则G是AC1的中点      

又连结EA，EC1，则EG⊥AC1     

又∵      

∴EG⊥平面ACC1A1，截面A1EC      

∴截面A1EC⊥平面ACC1A1

（2）解：以AC的中O为坐标原点，建立如图所示的坐标系

不妨设2

则      

则

设面A1EC的法向量

由

设与面所成的角为θ

则        

∴EF与面A1EC所成的角的大小为。

解：（1）分别取AB、DF的中点O、G，

连接OC、OG，

以直线OB、OC、OG分别为x轴、y轴、z轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

，

则D、E、F的坐标分别为D（1，0，1）、

E（0，，3）、F（-1，0，4），

∴=（-1，，2），=（-2，0，3），

设平面DEF的法向量，

由，

得，

可取，

平面ABC的法向量可以取，

∴，

∴平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为。

 （2）在（1）的坐标系中，AF=a，

=（-1，，2），=（-2，0，a-1），

因P在DE上，设，

则

，

∴

，

于是CP⊥平面DEF的充要条件为

，

由此解得，，

即当a=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P，

使CP⊥平面DEF。

解：如图建立空间直角坐标系，

（1），

，

，

，

∴，

∴A1B⊥C1M。

 （2）依题意得：B（0，2，0），N（2，0，2），

∴。

（3）依题意得：，

，

∴，

，

∴平面，

得，

设平面，

则，

∴y=-z，

，

∴x=-z，

令z=1，

则，

则，

由题意可知：二面角B1-A1E-C1的大小是锐角，

所以二面角B1-A1E-C1的平面角的余弦值是。

解：（1）由题设

连接

为等腰直角三角形，

所以，且

又为等腰三角形，

故

且

从而

所以为直角三角形

所以

又

所以平面。

（2）以O为坐标原点，射线分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系

设

则

的中点

∴

故等于二面角的平面角

所以二面角的余弦值为。