热门试卷

解：（1）取AB的中点G，连结CG，则CG⊥AB，

又DB⊥面ABC，可得DB⊥CG，所以CG⊥面ABDE，

所以，，CG=，

故CD=，，

取CD的中点为F，BC的中点为H，

因为，，所以AEFH为平行四边形，

得EF∥AH，

平面BCD，

∴EF⊥面DBC，

所以，存在点F，当F为CD的中点，DF=时，使得EF⊥面DBC。

（2）如图建立空间直角坐标系，则、、、

，

从而，，，

设为平面BCE的法向量，

则可以取，

设为平面CDE的法向量，

则取，

因此，，

故二面角D-EC-B的余弦值为。

解：取AB中点H，

则由PA＝PB，得PH⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABCD，

且平面PAB∩平面ABCD=AB，

所以PH⊥平面ABCD，

以H为原点，建立空间直角坐标系H-xyz（如图），

则

，

（Ⅰ）证明：∵，   

 ∴，

∴，即PD⊥AC。

（Ⅱ）假设在棱PA上存在一点E，

不妨设=λ，

则点E的坐标为，  

∴，

设是平面EBD的法向量，

则

，

不妨取，

则得到平面EBD的一个法向量，

又面ABD的法向量可以是=(0，0，)，

要使二面角E-BD-A的大小等于45°，

则

，

可解得，即=，

当时，使得二面角E-BD-A的大小等于45°。

(Ⅰ)证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，所以，A1O⊥AC，

又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，

且面AA1C1C，

所以，A1O⊥平面ABC．

(Ⅱ)解：如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别

为x，y，x 轴建立空间直角坐标系，

由题意可知，A1A=A1C=AC=2，

又AB= BC，AB⊥BC，，

所以得：O(0，0，0)，A(0，-l，0)，，

C(0，1，0)，，B(l，0，0)，

则有，

设平面AA1B的一个法向量为n=(x，y，z)，

则有，

令y=1，则，

所以，，，

 因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，

所以，。

(Ⅲ)解：设E=（x0，y0，z0），，

即-1+λ+2λ-λ=0，即，

即存在这样的点E，E为BC1的中点。

解：（Ⅰ）证明：取AD中点O，连接GO，OE，

易得四边形OGFE为梯形，

有OE 在平面EFG 上，

又PA ∥OE ，

结合平面EFG，平面EFG，

得PA∥平面EFG；

（Ⅱ）分别以OG，OD，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，

有，

设平面EFG的法向量为，

则根据，

取，得到，

设点，

于是，

有题知，

即，解得，

∴点M在CD的中点时，MF与平面EFG所成角为60°。