热门试卷

（Ⅰ）证明：取DE中点N，连结MN，AN，

在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，

所以，

由已知AB∥CD，，

所以MN∥AB，且MN=AB，

所以四边形ABMN为平行四边形，

所以BM∥AN，

又因为，

所以BM∥平面ADEF。

（Ⅱ）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD，

又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面，

所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC，

在直角梯形ABCD中，，

可得，

在△BCD中，，

所以BC⊥BD，

所以BC⊥平面BDE，

又因为

所以平面BDE⊥平面BEC。

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD，

以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，

，

平面ADEF的一个法向量为，

设为平面BEC 的一个法向量，

因为，，

所以，

令x=1，得y=1，z=2，

所以为平面BEC的一个法向量，

设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ，

则，

所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为。

解：以点C为原点，CB、CA、CC1所在直线为x、y、z轴，

建立空间直角坐标系C- xyz，如图所示，

则B(1，0，0)，，

所以，

(1)因为，

所以A1B⊥AM。

(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，

又BC平面ABC，所以CC1⊥BC，

因为∠ACB=90°，即BC⊥AC，

所以BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC，

所以是平面AMC的一个法向量，，

设n=(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，

，

由，得，

令z=2，得，所以，

因为，，

所以，

因此二面角B-AM-C的平面角的大小为45°．

解：（1）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，过D作平行于AA1的射线Dz为z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

依题设知D（0，0，0），B（2，2，0）， C（0，2，0），A1（2，0，4）

∵

∴

∴

∵A1C⊥平面BED，

∴A1C⊥DE

∴

∴

∴。

（2）依题意可知是平面BED的一个法向量，

设向量n= （x，y，z）是平面DA1B的一个法向量

则

∴2x+2y=0，2x+4z=0，

令z=1，则x=-2，y=2，

∴n=（-2，2，1）

∴。

（1）证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，

设AE=m，则，

从而，

直接计算知，，

所以，。

（2）①，

所以，，

从而E、F分别是AB、BC的中点，

在中，，，

解得：。

②由①得，，设平面的一个法向量为，

依题意，

所以，，

同理平面的一个法向量为，

由图知，面与面所成二面角的余弦值（即）。