热门试卷

解：（Ⅰ）∵ 平面，

，AB=1，AD=2，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

不妨令，

∵，，

∴，

即PF⊥FD。

（Ⅱ）设平面PFD的法向量为，

由，得，

令z=1，解得：，

∴，

设G点坐标为，，

则，

要使EG∥平面PFD，只需，

即，

得，

从而满足的点G即为所求。

（Ⅲ）∵AB⊥平面PAD，

∴是平面PAD的法向量，易得，

∵PA⊥平面ABCD，

∴是PB与平面ABCD所成的角，

得，PA=1，

平面PFD的法向量为，

∴，

故所求二面角A-PD-F的余弦值为。

解：（Ⅰ）证明：∵该几何体的正视图为矩形，

左视图为等腰直角三角形，

俯视图为直角梯形，

∴两两垂直，

以分别为x，y，x轴

建立空间直角坐标系如图，

则

，

∴，

，

∴，

又，

∴。

（Ⅱ）∵，

是平面C1B1N的一个法向量，

设的一个法向量，

则

，

所以可取，

则

，

∴所求二面角C-NB1-C1的余弦值为。

解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz，

则，

连结BD，B′D′，

在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H，

设，

由已知，

由，

可得，

所以，

（Ⅰ）因为，

所以，

即DP与CC′所成的角为45°。

（Ⅱ）平面AA′D′D的一个法向量是，

因为，

所以，

可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°。