热门试卷

（1）证明：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），A′（1，0，1），D′（0，0，1），

E（1，1，），F（，1，1），

，，，

设平面A′DE的法向量为，

则，即，

从而，

，

∴，

所以D′F∥平面A′DE；

（2）解：设平面ADE的法向量为，，，

则，即，

从而，

由（1）知DEA′的法向量为，

 ，

∴二面角A-DE-A′的余弦值为。

解：如图，建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0）、C（0，2，0）、A1（2，0，2）、

B1（0，0，2）、C1（0，2，2），

设AC的中点为M，

∵BM⊥AC，BM⊥CC1；

∴BM⊥平面A1C1C，

即=(1，1，0)是平面A1C1C的一个法向量。

设平面的一个法向量是，

=（-2，2，-2），=（-2，0，0），

∴

令z=1，解得x=0，y=1，

∴，

设法向量的夹角为φ，

二面角的大小为θ，显然θ为锐角，

，解得，

∴二面角的大小为。

（I）证明：取AB的中点O，连接EO，CO，

∵

∴△ABC为等腰直角三角形，

又∵

∴△ACB三角形，

∴

又EC=2，

∴

∴

∴EO⊥平面ABCD，

又EO平面EAB

∴平面EAB⊥平面ABCD

（II）以AB中点O为坐标原点，以OB所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则

设平面DCE的法向量，

∴

即，解得，

∴

设平面EAC的法向量，

，即，解得， 

∴

∵

所以二面角A-EC-D的余弦值为。

解：（1）如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，

则，

，

因为，

所以直线BC1和B1D1所成角的大小为60°；

（2）连结A1C1，记，连结OB，

因为，

所以，

从而是直线BC1和平面B1D1DB所成的角，

易知，

从而，

因为，

所以直线BC1和平面B1D1DB所成角的大小是30°。