热门试卷

证明：（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD知AC为PC在平面ABCD的射影，

由∠DAC=90°知，AD⊥DC，

故AD⊥PC（三垂线定理）。

解：（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，

由已知可得，

设平面PBC的法向量为，

由，

则，

则PD与平面PBC所成的角为。

解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）

（1）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m<0，n>0）

则，

可得

因为

所以PE⊥BC。

（2）由已知条件可得

故，，，

设n=（x，y，z）为平面PEH的法向量

则，即

因此可以取n=（1，，0）

由可得

所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为。

解：以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线

分别为x轴，y轴，z轴

建立空间直角坐标系D-xyz，

如图，则有A（2，0，0），

B（2，2，0），C（0，2，0），

A1（1，0，2），B1（1，1，2），

C1（0，1，2），D1（0，0，2），

（Ⅰ）证明：设，连接D1、E，

则有，

所以，

∵，

∴平面；

（Ⅱ），

设为平面AB1D1的法向量，

，

于是令x=1，则y=-1，z=1，，

同理可以求得平面的一个法向量，

，

∴二面角的余弦值为。

（1）以CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标，

因为AC=3，BC=4，AA1=4，所以A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1=（0，0，4），

所以=(-3，0，4)，因为=λ，

所以点D（-3λ+3，4λ，0），所以=(-3λ+3，4λ，0)，

因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，

所以　|cos＜，＞|==，解得λ=．…（4分）

（2）由（1）得B1（0，4，4），因为 D是AB的中点，所以D(，2，0)，

所以=(，2，0)，=(0，4，4)，平面CBB1C1的法向量 =（1，0，0），

设平面DB1C的一个法向量=（x0，y0，z0），

则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角D-CB1-B的大小，

由得令x0=4，则y0=-3，z0=3，

所以=（4，-3，3），

∴cos＜，＞===．

所以二面角D-B1C-B的余弦值为．   …（10分）