用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

如图所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，EC与平面ABCD成30°角

（1）求证：EG⊥平面ABCD；

（2）若AD=2，求二面角E-FC-G的度数；

（3）当AD的长是多少时，D点到平面EFC的距离为2？并说明理由．

正确答案

解：（1）证明：如图所示，∵△ADE是等边三角形，

∴EG⊥AD

又平面EAD平面ABCD且相交于AD，

∴EG⊥平面ABCD

（2）连接CG，则CG是EC在平面ABCD的射影

∴∠ECG是EC与平面ABCD所成的角，

∴∠ECG=30°

在Rt△ECG中：

∵AD=2，

∴EG=，

∴CG=3

在Rt△CDG中：

∵DG=1，GC=3，

∴DC=

则AF=BF=，GF=，FC=

∴GF2+FC2=GC2，

即GF⊥FC

∵GF是EF在平面AC内的射影，

∴EF⊥FC

∴∠EFG是二面角E-FC-G的平面角．

在Rt△EGF中，EG=GF=

∴∠EFG=45°

故所求二面角E-FC-G的度数为45°

（3）设AD=2a，则可得，S△EFC=3a2

∵VE-DFC=VD-EFC

∴

解析

解：（1）证明：如图所示，∵△ADE是等边三角形，

∴EG⊥AD

又平面EAD平面ABCD且相交于AD，

∴EG⊥平面ABCD

（2）连接CG，则CG是EC在平面ABCD的射影

∴∠ECG是EC与平面ABCD所成的角，

∴∠ECG=30°

在Rt△ECG中：

∵AD=2，

∴EG=，

∴CG=3

在Rt△CDG中：

∵DG=1，GC=3，

∴DC=

则AF=BF=，GF=，FC=

∴GF2+FC2=GC2，

即GF⊥FC

∵GF是EF在平面AC内的射影，

∴EF⊥FC

∴∠EFG是二面角E-FC-G的平面角．

在Rt△EGF中，EG=GF=

∴∠EFG=45°

故所求二面角E-FC-G的度数为45°

（3）设AD=2a，则可得，S△EFC=3a2

∵VE-DFC=VD-EFC

∴

题型：简答题

简答题

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

正确答案

解：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF．

∵EF⊥BC，CC1⊥BC

∴EF∥CC1，而CC1⊥平面ABCD

∴EF⊥平面ABCD，

∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角（4分）

由题意，得EF=．

∵（8分）

∵EF⊥DF，∴．（10分）

故直线DE与平面ABCD所成角的大小是（12分）

解析

解：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF．

∵EF⊥BC，CC1⊥BC

∴EF∥CC1，而CC1⊥平面ABCD

∴EF⊥平面ABCD，

∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角（4分）

由题意，得EF=．

∵（8分）

∵EF⊥DF，∴．（10分）

故直线DE与平面ABCD所成角的大小是（12分）

题型：简答题

简答题

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB，N是CC1的中点，M是线段AB1上的动点（与端点不重合），且AM=λAB1．

（1）若，求证：MN⊥AA1；

（2）若直线MN与平面ABN所成角的大小为θ，求sinθ的最大值．

正确答案

（1）证明：如图，建立空间直角系，则

．

当时，，此时，，

∵，∴MN⊥AA1．

（2）解：设平面ABN的法向量，则，

即，取．

而，

∴==，

∵0＜λ＜1，∴，

故=，

当且仅当，即时，等号成立．

∴sinθ的最大值为．

解析

（1）证明：如图，建立空间直角系，则

．

当时，，此时，，

∵，∴MN⊥AA1．

（2）解：设平面ABN的法向量，则，

即，取．

而，

∴==，

∵0＜λ＜1，∴，

故=，

当且仅当，即时，等号成立．

∴sinθ的最大值为．

题型：简答题

简答题

如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E为BD的中点．

（1）求证：BM⊥平面ADM；

（2）求直线AE与平面ADM所成角的正弦值．

正确答案

解：（1）△ABM中，AB=2，，∴AM⊥BM，

又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，且BM⊆平面ABCM，

∴BM⊥平面ADM…（6分）

（2）如图，以M点为坐标原点，MA所在直线为x轴，MB所在直线为y轴建立空间直角坐标系，

则M（0，0，0），，，，

∵E为BD中点，∴，，

由（1）知，为平面ADM的一个法向量，

，

∴直线AE与平面ADM所成角的正弦值为…（12分）

解析

解：（1）△ABM中，AB=2，，∴AM⊥BM，

又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，且BM⊆平面ABCM，

∴BM⊥平面ADM…（6分）

（2）如图，以M点为坐标原点，MA所在直线为x轴，MB所在直线为y轴建立空间直角坐标系，

则M（0，0，0），，，，

∵E为BD中点，∴，，

由（1）知，为平面ADM的一个法向量，

，

∴直线AE与平面ADM所成角的正弦值为…（12分）

题型：简答题

简答题

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．

（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；

（Ⅱ）求证：AD⊥平面PAC；

（Ⅲ）求二面角M-AC-D的正切值．

正确答案

（Ⅰ）证明：连接OM，BD，

∵M，O分别为PD和AC中点，

∴OM∥PB，

∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，

∴PB∥平面ACM…．（4分）

（Ⅱ）证明：由已知得PO⊥平面ABCD

∴PO⊥AD，

∵∠ADC=45°，AD=AC=1，

∴AC⊥AD，

∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，

∴AD⊥平面PAC．…..（8分）

（Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，则MN∥PO，

∴MN⊥平面ABCD

过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，

连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M-AC-D的平面角，

∵MN=1，NE=

∴tan∠MEN=2…..（13分）

解析

（Ⅰ）证明：连接OM，BD，

∵M，O分别为PD和AC中点，

∴OM∥PB，

∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，

∴PB∥平面ACM…．（4分）

（Ⅱ）证明：由已知得PO⊥平面ABCD

∴PO⊥AD，

∵∠ADC=45°，AD=AC=1，

∴AC⊥AD，

∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，

∴AD⊥平面PAC．…..（8分）

（Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，则MN∥PO，

∴MN⊥平面ABCD

过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，

连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M-AC-D的平面角，

∵MN=1，NE=

∴tan∠MEN=2…..（13分）

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