用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1．

（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BC1；

（Ⅱ）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．

正确答案

解：（I）∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，

∴AA1⊥A1C1，

又∵∠B1A1C1=90°，即A1C1⊥A1B1，A1B1、AA1是平面AA1B1B内的相交直线，

∴A1C1⊥平面AA1B1B，可得AB1⊥A1C1

∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1，

∴四边形AA1B1B是正方形，可得AB1⊥A1B，

又∵A1B、A1C1是平面A1BC1内的相交直线，

∴AB1⊥平面A1BC1；

（II）连结AD，设AB=AC=AA1=1，

∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成角

∵等腰Rt△A1B1C1中，D为斜边的中点，∴A1D=B1C1=，

又∵Rt△A1DA中，AD==，

∴sin∠A1DA=，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值等于．

解析

解：（I）∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，

∴AA1⊥A1C1，

又∵∠B1A1C1=90°，即A1C1⊥A1B1，A1B1、AA1是平面AA1B1B内的相交直线，

∴A1C1⊥平面AA1B1B，可得AB1⊥A1C1

∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1，

∴四边形AA1B1B是正方形，可得AB1⊥A1B，

又∵A1B、A1C1是平面A1BC1内的相交直线，

∴AB1⊥平面A1BC1；

（II）连结AD，设AB=AC=AA1=1，

∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成角

∵等腰Rt△A1B1C1中，D为斜边的中点，∴A1D=B1C1=，

又∵Rt△A1DA中，AD==，

∴sin∠A1DA=，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值等于．

题型：填空题

填空题

在正方体AC1中，直线BC1与平面ACC1A1所成角的大小为______．

正确答案

解析

解：连接BD，BD∩AC=0，连接OC1，

由正方体的性质可得BO⊥AC，BO⊥AA1且AA1∩AC=A

∴BO⊥平面AA1C1C

∴∠BC1O为直线BC1与平面A1ACC1所成的角

设正方体的棱长为a，则OB=a，BC1=a

在Rt△BC1O中，sin∠BC1O==

∴∠BC1O=．

故答案为：．

题型：单选题

单选题

正方体ABCD-A1B1C1D1中直线A1C1与平面A1BD夹角的余弦值是（　　）

正确答案

解析

解：设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，构造三棱锥C1-A1DB，其体积为：

∵V=V正方体-4V A-A1BD=a3-4×a3=a3，

设点C1到平面A1BD的距离是h，

又三棱锥C1-A1DB的体积=×SA1BD×h，

∴a3=×SA1BD×h，

∴h=，

设直线A1C1与平面A1BD夹角为α，则=，

∴=，

即直线A1C1与平面A1BD夹角的余弦值是．

故选C．

题型：简答题

简答题

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的中点，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．

（Ⅰ）求证：BD⊥EG；

（Ⅱ）求EG和平面ABCD所成的角；

（Ⅲ）求二面角B-DC-F的余弦值．

正确答案

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间坐标系，

则A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），

D（0，2，2），G（2，2，0），F（0，3，0）．

=（2，2，0），=（-2，2，2），（2分）

∴cos＜，＞=0，

∴BD⊥EG．（5分）

（Ⅱ）设面ABCD的法向量为1=（x，y，z）则，，

即设x=1，即，（7分）

cos＜＞=，

EG和平面ABCD所成的角为30°．（10分）

（Ⅲ）设平面DFC的法向量为，，，

取x=1，，（12分）

cos＜＞=0，

∴所以二面角B-DC-F的斜弦值为0．

解析

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间坐标系，

则A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），

D（0，2，2），G（2，2，0），F（0，3，0）．

=（2，2，0），=（-2，2，2），（2分）

∴cos＜，＞=0，

∴BD⊥EG．（5分）

（Ⅱ）设面ABCD的法向量为1=（x，y，z）则，，

即设x=1，即，（7分）

cos＜＞=，

EG和平面ABCD所成的角为30°．（10分）

（Ⅲ）设平面DFC的法向量为，，，

取x=1，，（12分）

cos＜＞=0，

∴所以二面角B-DC-F的斜弦值为0．

题型：简答题

简答题

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH中点，PA=AC=2，BC=1．

（1）求证：AH⊥平面PBC；

（2）求PM与平面AHB成角的正弦值；

（3）在线段PB上是否存在点N，使得MN∥平面ABC，若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明理由．

正确答案

（1）证明：∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥BC，

又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

∵AH⊂平面PAC，

∴BC⊥AH．

∵H为PC的中点，PA=AC，

∴AH⊥PC．

∵PC∩BC=C．

∴AH⊥平面PBC；

（2）由题意建立如图所示的空间直角坐标系．A（0，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），H（0，1，1），M．

=（0，1，1），=（1，2，0），=．

设平面ABH的法向量为=（x，y，z），则，取=（2，-1，1）．

设PM与平面AHB成角为θ，

则sinθ====．

（3）假设在线段PB上存在点N，使得MN∥平面ABC．

设，=（1，2，-2），

∴．

∴==，

∵MN∥平面ABC，平面ABC的法向量为=（0，0，2），

∴=3-4λ=0，解得．

∴点N是靠近B点的四等分点．

解析

（1）证明：∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥BC，

又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

∵AH⊂平面PAC，

∴BC⊥AH．

∵H为PC的中点，PA=AC，

∴AH⊥PC．

∵PC∩BC=C．

∴AH⊥平面PBC；

（2）由题意建立如图所示的空间直角坐标系．A（0，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），H（0，1，1），M．

=（0，1，1），=（1，2，0），=．

设平面ABH的法向量为=（x，y，z），则，取=（2，-1，1）．

设PM与平面AHB成角为θ，

则sinθ====．

（3）假设在线段PB上存在点N，使得MN∥平面ABC．

设，=（1，2，-2），

∴．

∴==，

∵MN∥平面ABC，平面ABC的法向量为=（0，0，2），

∴=3-4λ=0，解得．

∴点N是靠近B点的四等分点．

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