- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
（理）已知圆柱的体积是
正确答案
解析
解：∵V圆柱=πr2h=πh=
过A向底面作垂线，垂足必落在底面圆周上，设为
在Rt△AOB中，tan∠AOB=
∴∠AOB=
故答案为
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）在平面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD，并求直线PC与平面PBD所成角的
正弦值．
正确答案
证明：（1）取PD的中点E，连接EM，EA，则EM∥AB，且EM=AB
所以四边形ABME为平行四边形，所以BM∥AE
又AE⊂平面PAD，BM不在平面PAD内，∴BM∥平面PAD；
解：（2）以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
则B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，1，1），E（0，1，1）
假设存在满足题意的点，则在平面PAD内，设N（0，y，z）
所以
设直线PC与平面PBD所成的角为θ，
易得
设
故直线PC与平面PBD所成角的正弦值为
解析
证明：（1）取PD的中点E，连接EM，EA，则EM∥AB，且EM=AB
所以四边形ABME为平行四边形，所以BM∥AE
又AE⊂平面PAD，BM不在平面PAD内，∴BM∥平面PAD；
解：（2）以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
则B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，1，1），E（0，1，1）
假设存在满足题意的点，则在平面PAD内，设N（0，y，z）
所以
设直线PC与平面PBD所成的角为θ，
易得
设
故直线PC与平面PBD所成角的正弦值为
已知正三棱柱ABC-A1B1C1体积为
A
B
C
D
正确答案
解析
根据条件，∴
∴可求以下几点坐标：
P（
∴
BB1⊥平面ABC，OC⊂平面ABC；
∴OC⊥BB1；
又OC⊥BO，BO∩BB1=B；
∴OC⊥平面BB1P；
∴
∴cosθ=
∴
∴PA1与平面BB1P所成角的正切大小为
故选：C．
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设B1在下底面上的射影为D，
连接BD，过点D作DE垂直BC，交与点E
∴∠B1BD是侧棱BB1与底面所成的角为30°
设B1B=2，则B1D=1，BD=
∵∠B1BC=60°∴BE=1，B1E=
在△BDE中，cos∠DBE=
∵BD∥AC∴∠DBE=∠ACB，
故选A．
（1）若P为DF中点，求证：BF∥平面ACP；
（2）若二面角P-AC-F的正弦值为
正确答案
PO为△BDF的中位线；
∴PO∥BF，即BF∥PO；
PO⊂平面ACP，BF⊄平面ACP；
∴BF∥平面ACP；
（2）∵∠ACD=90°；
∴AC⊥AB；
∵平面ABEF⊥平面ABCD，交线为AB，AF⊥AB；
∴AF⊥平面ABCD；
∴AB，AC，AF三条直线两两垂直；
∴分别以AB，AC，AF所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），C（0，
设P（x，y，z），设
∴
∴
过P作PG∥AF，交AD于G，则PG⊥平面ABCD，作GH∥AB，交AC于H，连接PH，则：
GH⊥AC，PH⊥AC；
又AF⊥平面ABCD，AF⊥AC；
∴向量
并且H的坐标为（0，
∴
∵二面角P-AC-F的正弦值为
∴二面角P-AC-F的余弦值为
∴
解得
∴
∴
sinθ=
∴AP与平面ABCD所成角的大小为
解析
PO为△BDF的中位线；
∴PO∥BF，即BF∥PO；
PO⊂平面ACP，BF⊄平面ACP；
∴BF∥平面ACP；
（2）∵∠ACD=90°；
∴AC⊥AB；
∵平面ABEF⊥平面ABCD，交线为AB，AF⊥AB；
∴AF⊥平面ABCD；
∴AB，AC，AF三条直线两两垂直；
∴分别以AB，AC，AF所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），C（0，
设P（x，y，z），设
∴
∴
过P作PG∥AF，交AD于G，则PG⊥平面ABCD，作GH∥AB，交AC于H，连接PH，则：
GH⊥AC，PH⊥AC；
又AF⊥平面ABCD，AF⊥AC；
∴向量
并且H的坐标为（0，
∴
∵二面角P-AC-F的正弦值为
∴二面角P-AC-F的余弦值为
∴
解得
∴
∴
sinθ=
∴AP与平面ABCD所成角的大小为
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