用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

· 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=，∠ABD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，折后的点A变为A1，且A1C=2．

（1）求证：平面A1BD⊥平面BCD；

（2）求异面直线BC与A1D所成角的余弦值；

（3）E为线段A1C上的一个动点，当线段EC的长为多少时，DE与平面BCD所成的角正弦值为？

正确答案

解：（1）根据已知条件，在△A1BC中，BC=，A1B=1，A1C=2；

∴；

∴A1B⊥BC；

又A1B⊥BD，BD∩BC=B；

∴A1B⊥平面BCD，A1B⊂平面A1BD；

∴平面A1BD⊥平面BCD；

（2）以BD的垂线，BD，BA1三直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

B（0，0，0），C（1，，0），D（0，，0），A1（0，0，1）；

∴，；

∴；

∴异面直线BC与A1D所成角的余弦值为；

（3）为平面BCD的一条法向量，E在线段A1C上；

∴设E（x，x，1-x），x∈[0，1]；

∴；

∵DE与平面BCD所成的角正弦值为；

∴=；

解得x=，或2（舍去）；

∴；

即当线段EC=时，DE与平面BCD所成的角正弦值为．

解析

解：（1）根据已知条件，在△A1BC中，BC=，A1B=1，A1C=2；

∴；

∴A1B⊥BC；

又A1B⊥BD，BD∩BC=B；

∴A1B⊥平面BCD，A1B⊂平面A1BD；

∴平面A1BD⊥平面BCD；

（2）以BD的垂线，BD，BA1三直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

B（0，0，0），C（1，，0），D（0，，0），A1（0，0，1）；

∴，；

∴；

∴异面直线BC与A1D所成角的余弦值为；

（3）为平面BCD的一条法向量，E在线段A1C上；

∴设E（x，x，1-x），x∈[0，1]；

∴；

∵DE与平面BCD所成的角正弦值为；

∴=；

解得x=，或2（舍去）；

∴；

即当线段EC=时，DE与平面BCD所成的角正弦值为．

题型：简答题

简答题

如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2DC=2，E为BD1的中点，F为AB的中点，∠DAB=60°．

（Ⅰ）求证：EF∥平面ADD1A1；

（Ⅱ）若BB1=，求A1F与平面DEF所成角的正弦值．

正确答案

解：（Ⅰ）证明：E为BD1的中点，F为AB的中点；

∴EF为△ABD1的中位线；

∴EF∥AD1，AD1⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1；

∴EF∥平面ADD1A1；

（Ⅱ）AB∥CD，AB=2DC，F为AB中点；

∴DC∥FB，且DC=FB；

∴四边形DCBF为平行四边形；

∴DF=CB，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°；

∴△ADF为等边三角形，∠ADF=60°；

取AF中点G，连接DG，则∠GDC=90°；

即DG⊥DC，又DD1⊥底面ABCD；

∴DG，DC，DD1三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

，；

∴，；

设平面DEF的法向量为，则：；

∴，取z=1，则；

设A1F和平面DEF所成角为θ，则sinθ==；

∴A1F和平面DEF所成角的正弦值为．

解析

解：（Ⅰ）证明：E为BD1的中点，F为AB的中点；

∴EF为△ABD1的中位线；

∴EF∥AD1，AD1⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1；

∴EF∥平面ADD1A1；

（Ⅱ）AB∥CD，AB=2DC，F为AB中点；

∴DC∥FB，且DC=FB；

∴四边形DCBF为平行四边形；

∴DF=CB，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°；

∴△ADF为等边三角形，∠ADF=60°；

取AF中点G，连接DG，则∠GDC=90°；

即DG⊥DC，又DD1⊥底面ABCD；

∴DG，DC，DD1三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

，；

∴，；

设平面DEF的法向量为，则：；

∴，取z=1，则；

设A1F和平面DEF所成角为θ，则sinθ==；

∴A1F和平面DEF所成角的正弦值为．

题型：简答题

简答题

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；

（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．

正确答案

解：（1）连接B1C交BC1于点O，连接A1O．

在正方体ABCD-A1B1C1D1中

因为A1B1⊥平面BCC1B1．

所以A1B1⊥BC1．

又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O

∴BC1⊥平面A1B1CD

（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a

在RT△A1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，∠BA1O=30°，

即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．

解析

解：（1）连接B1C交BC1于点O，连接A1O．

在正方体ABCD-A1B1C1D1中

因为A1B1⊥平面BCC1B1．

所以A1B1⊥BC1．

又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O

∴BC1⊥平面A1B1CD

（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a

在RT△A1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，∠BA1O=30°，

即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．

题型：单选题

单选题

已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都等于a，若A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成的角的余弦值等于（　　）

正确答案

解析

解：设A1在底面ABC内的射影为O，O为△ABC的中心，OA=OB=OC，A1A=A1B=A1C=a，∴正四面体A1-ABC，

AB1∩A1B=E，E为A1B中点，D为OB中点，∴ED∥A1O，∴ED⊥面ABC，∴∠EAD即AB1与底面ABC所成的角，OA=OB=a，在Rt△AA1O中，

A1O==，ED=A1O=，在正三角形A1AB中，AE=，∴在Rt△ADE中，sin∠EAD==，

∴cos∠EAD=

故选：C．

题型：简答题

简答题

如图，底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABD=60°，E为PC上一动点，PA=AC．

（1）求证BD⊥AE；

（2）当AE⊥平面PBD时，求的值；

（3）在（2）的条件下，求AD与平面PBD所成角的正弦值．

正确答案

解（1）菱形ABCD⇒AC⊥BD，PA⊥面ABCD⇒PA⊥BD，

又PA∩AC=A，所以BD⊥面PAC，又AE⊂面PAC，所以BD⊥AE；

（2）连接AC交BD于点O，以O为圆心，OA，OB分别为x，y轴，建立如图所示空间坐标系，

如图示：

，

设AB=2，则，B（0，1，0），D（0，-1，0），，

设，，

AE⊥平面PBD，，则，；

（3）因为AE⊥平面PBD，

所以AE是平面PBD的一个法向量，取

设AD与平面PBD所成角为θ，

则．

解析

解（1）菱形ABCD⇒AC⊥BD，PA⊥面ABCD⇒PA⊥BD，

又PA∩AC=A，所以BD⊥面PAC，又AE⊂面PAC，所以BD⊥AE；

（2）连接AC交BD于点O，以O为圆心，OA，OB分别为x，y轴，建立如图所示空间坐标系，

如图示：

，

设AB=2，则，B（0，1，0），D（0，-1，0），，

设，，

AE⊥平面PBD，，则，；

（3）因为AE⊥平面PBD，

所以AE是平面PBD的一个法向量，取

设AD与平面PBD所成角为θ，

则．

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 导数的概念

百度题库 > 高考 > 数学 > 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

扫码查看完整答案与解析