- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC对折成120°的二面角，则B、D在四面体A-BCD的外接球球面上的距离为______．
正确答案
解析
解：∵边长为1的正方形ABCD沿对角线AC对折成120°的二面角，
∴四面体A-BCD的外接球半径R=
B、D与球心所成的球心角n=120°，
∴B、D在四面体A-BCD的外接球球面上的距离
d=
故答案为：
过点O引三条射线OA，OB，OC，已知∠AOB=θ，∠AOC=β，∠BOC=α，且平面AOB⊥平面BOC，则有（ ）
正确答案
解析
则∠A′BO=90°，∠C′BO=90°，∠A′OB=θ，∠A′OC′=β，∠BOC′=α
那么就有：OB=OA′cosθ=OC′cosα．A′B=OA′sinθ，BC′=OC′sinα．
根据余弦定理：OA′2+OC′2-A′C′2=2OA′×OC′×cosβ，AC′2=A′B2+BC′2所以：OA′2+0C′2-[（OA′sinθ）2+（OC′sinα）2]=2OA′×OC′×cosβ…（*）
∵OB=OA′cosθ=OC′cosα
∴OA′=
cosβ=cosθcosα
故选B．
（1）求证：AF⊥BC；
（2）求二面角B-AF-C的余弦值．
正确答案
∴FC⊥平面ABCD，
∴FC⊥BC，
∵AD⊥CD，AD∥CD，AD=CD=
∴BC⊥AC，
∵FC∩AC=C，
∴BC⊥平面ACFE，
∴AF⊥BC；
（2）解：过C作CG⊥AF于G点，连BG
又AF⊥BC，故AF⊥平面BCG，于是∠BGC为所求角．
在△BGC中，BC=
于是tan∠BGC=
解析
∴FC⊥平面ABCD，
∴FC⊥BC，
∵AD⊥CD，AD∥CD，AD=CD=
∴BC⊥AC，
∵FC∩AC=C，
∴BC⊥平面ACFE，
∴AF⊥BC；
（2）解：过C作CG⊥AF于G点，连BG
又AF⊥BC，故AF⊥平面BCG，于是∠BGC为所求角．
在△BGC中，BC=
于是tan∠BGC=
（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；
（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C-PE-D为45°．
正确答案
解：（Ⅰ）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=PA=1，AD=
∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（
∵
∴AF⊥PB，AF⊥PC，
∴AF⊥平面PBC．
（Ⅱ）设BE=a，∴E（a，1，0），
设平面PDE的法向量
则
取x=1，得
平面PCE的法向量为
∵二面角C-PE-D为45°，
∴cos＜
解得a=
∴当BE=
AF⊥平面PBC．
解析
解：（Ⅰ）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=PA=1，AD=
∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（
∵
∴AF⊥PB，AF⊥PC，
∴AF⊥平面PBC．
（Ⅱ）设BE=a，∴E（a，1，0），
设平面PDE的法向量
则
取x=1，得
平面PCE的法向量为
∵二面角C-PE-D为45°，
∴cos＜
解得a=
∴当BE=
AF⊥平面PBC．
（1）求证：BC⊥平面VAB．
（2）求VC与平面ABC所成的角．
（3）求二面角B-VA-C的平面角．
正确答案
解：（1）∵∠VAB=∠VAC=90°
∴VA⊥AB，VA⊥AC
∴VA⊥平面ABC
∵BC⊂平面ABC
∴VA⊥BC
又BC⊥AB，VA∩AB=A
∴BC⊥平面VAB．---（3分）
（2）∵VA⊥平面ABC
∴∠VCA为VC与平面ABC所成的角
Rt△VCA中，AC=2，VA=2．
∴∠VCA=45°-------（5分）
即VC与平面ABC所成的角为45°．
（3）∵VA⊥AB，VA⊥AC，
∴∠BAC为二面角B-VA-C的平面角．
由∠ABC=90°知△ABC为直角三角形，BC=1，AC=2
∴∠BAC=30°
∴二面角B-VA-C的平面角为30．---（8分）
解析
解：（1）∵∠VAB=∠VAC=90°
∴VA⊥AB，VA⊥AC
∴VA⊥平面ABC
∵BC⊂平面ABC
∴VA⊥BC
又BC⊥AB，VA∩AB=A
∴BC⊥平面VAB．---（3分）
（2）∵VA⊥平面ABC
∴∠VCA为VC与平面ABC所成的角
Rt△VCA中，AC=2，VA=2．
∴∠VCA=45°-------（5分）
即VC与平面ABC所成的角为45°．
（3）∵VA⊥AB，VA⊥AC，
∴∠BAC为二面角B-VA-C的平面角．
由∠ABC=90°知△ABC为直角三角形，BC=1，AC=2
∴∠BAC=30°
∴二面角B-VA-C的平面角为30．---（8分）
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