热门试卷

证明：（1）（1）证明：取BC的中点E，连结AE、AP、PC，

∵CD⊥平面ABC，DC∥AN，

∴AN⊥平面ABC，∴AN⊥BC，

又∵P为BD的中点，

∴PE∥CD∥AN，即PE⊥BC，

∵AB=AC=BC，E为BC中点，

∴AE⊥BC，

∴BC⊥平面AEP，

∴AP⊥BC；

（II）解：以C为原点，建立空间直角坐标系如图，

∵CD=2AN=4，又AB=AC=BC=2，

∴C（0，0，0），A（2，0，0），B（1，，0），

D（0，0，4），N（2，0，2），

则=（1，，0），=（2，0，0），=（-1，-，4），

设t=，则P（1-t，-t，4t），0＜t＜1

∴=（-1-t，-t，4t-2），=（1-t，-t，4t）

B，D中点为（，，2），在面ABC的射影E（，，0），=（，，0）为面BCP的向量，

面ACP的法向量为；=（x1，y1，z1），

得出=（0，4，），

∵|cos＜，＞|=||=，t=，

∴=（-，，0），p（，，2），

设面ABD的法向量为；=（x2，y2，z2），=（-1，，0），=（-1，-，4），

即得出=（，1，），=-，||=，||=，

∵cos＜，＞==

∴直线PN与平面ABD所成角的正弦值：sinα=|cos＜，＞|=

（1）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，

又∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC．

∵AP∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．

∵BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．

（2）解：如图，过A作AH⊥PC于H，

∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，

∵PC∩BC=C，

∴AH⊥平面PBC，则∠ABH即是要求的角．

∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA即是PC与平面ABC所成角，

∴tan∠PCA==，

又PC=2，∴AC=，

∴在直角△PAC中，AH=

在直角△ABH中，sin∠ABH=，

即AB与平面PBC所成角正弦值为．

解：（Ⅰ）显然x＞1，连接AQ．

∵平面ABCD⊥平面ADQP，PA⊥AD，

∴PA⊥平面ABCD，PA⊥DQ，

又PQ⊥DQ，

∴DQ⊥面PAQ，AQ⊂面PAQ，

∴AQ⊥DQ，AD=y2-x2．

∵Rt△ABQ∽Rt△QCD，，

∴，即，

∴．

（Ⅱ） ，

当且仅当即时取等号．

此时CQ=1，即Q是BC的中点．于是由DQ⊥平面PAQ知平面PDQ⊥平面PAQ，PQ是其交线，则过A作AE⊥平面PDQ，

∴∠ADQ就是AD与平面PDQ所成的角．

由已知得，PQ=AD=2，

∴AE=1，，∠ADE=30°，

即AD与平面PDQ所成的角为300．

（Ⅲ）设三棱锥P-ADQ的内切球半径为r，设该小球的球心为O，连接OA，OP，OQ，OD则三棱锥被分成了四个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r

∴

∵，，S△PAQ=1，，S△ADQ=1，

∴．