热门试卷

（1）证明：∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2．

∴△ABC≌△ABD，BC=BD．

取CD的中点M，连接AM，BM，则CD⊥AM，CD⊥BM，

又AM∩BM=M，∴CD⊥平面ABM，

∴AB⊥CD．

（2）解：过点A作AO⊥BM于点O，∵CD⊥平面ABM，

∴平面BCD⊥平面ABM，

∴AO⊥平面BCD，

∴∠ABO是AB与平面BCD所成角．

在△ABC中，BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos∠BAC=7，

∴BC=．

∵△ACD是等边三角形，∴AM=．

在RT△BCM中，=．

在△ABM中，由余弦定理可得：cos∠ABM==．

解：（1）依题意得，AD⊥平面CPD，AD=DD1=2，

所以三棱锥A-CPD1的体积为×2=，

CP=1，

（2）以A为原点，AB，AD，AA1，所在直线分别为x，y，z轴，建立坐标系，

A（0，0，0），D（0，2，0），P（1.2，0），D1（0，2，2），

=（0，2，0），=（1，2，0），=（0，2，2），

设平面APD1的一个法向量为=（x，y，z），

则

∴得出

∴=（2，-1，1），

即sinθ===，

故直线AD与平面APD1所成的角θ的正弦值为．

（3）∵M点的位置为A1B1中点，

可知C1（2，2，2），M（1，0，2），=（-1，-2，0），

∴平面APD1的一个法向量为=（2，-1，1），

∴=0，

∵C1M⊄平面APD1，

∴C1M∥平面APD1

（1）证明：∵E为CD的中点，BC=1，ABCD为菱形，

∴CE=，又∠BCD=60°，

∴∠BEC=90°，

∴BE⊥AB，又PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BE，

∵PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，PA∩AB=A，

∴BE⊥面PAB，

∵BE⊂面PBE，

∴面PBE⊥面PAB．   

（2）解：过B点作BF⊥AD于F，过F作FM⊥PD于M，连接BM

∵BF⊥AD，BF⊥PA，

∴BF⊥面PAD，

∵BM为面PAD的斜线，MF为BM在面PAD的射影，

∴BM⊥PD，

∴∠BMF为二面角B-PD-A的平面角，

PC与面ABCD成角60°，∠PCA=60°，PA=3，BF=，MF=，

∴，

所以二面角B-PD-A为arctan．

（Ⅰ）证明：∵PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD，

∴PE⊥AD，BE⊥AD，

∵PE∩BE=E，

∴AD⊥平面PEB，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD∥BC，

∴BC⊥平面PEB；

（Ⅱ）解：以E为原点，建立如图所示的坐标系，则

不妨设菱形ABCD的边长为2，则．

则点.．

设平面PDC的法向量为=（x，y，z）．

则由解得

不妨令z=1，得=（-，-1，1），

又，

所以EF与平面PDC所成角的正弦值为||=．…（9分）