用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
共2973题

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题型：简答题

简答题

如图，已知平面α∩平面β=MN，A∈α，B∈β，C∈MN且∠ACM=60°，∠BCN=45°，二面角A-MN-B=60°，AC=2．

（Ⅰ）求点A到平面β的距离；

（Ⅱ）设二面角A-BC-M的大小为θ，求tanθ的值．

正确答案

解：（Ⅰ）如图，

作AO⊥β于O，AD⊥AN于D，连接OD，知∠ADO=60°，

在Rt△ADC中，易得AD=CD=1，在Rt△ADO中，OD=，AO=．

（Ⅱ）如图，在β平面内，过点O作直线BC的垂线，垂足为F，与直线MN交于E点，

易证∠AOF为二面角A-BC-M的平面角，

由已知得∠BCN=∠ECF=∠CEF=45°，

可求得OE=，DE=DO=，EC=，EF=×，OF=OE+EF=，

．

解析

解：（Ⅰ）如图，

作AO⊥β于O，AD⊥AN于D，连接OD，知∠ADO=60°，

在Rt△ADC中，易得AD=CD=1，在Rt△ADO中，OD=，AO=．

（Ⅱ）如图，在β平面内，过点O作直线BC的垂线，垂足为F，与直线MN交于E点，

易证∠AOF为二面角A-BC-M的平面角，

由已知得∠BCN=∠ECF=∠CEF=45°，

可求得OE=，DE=DO=，EC=，EF=×，OF=OE+EF=，

．

题型：单选题

单选题

已知从一点P引出三条射线PA、PB、PC，且两两成60°角，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（　　）

正确答案

解析

解：过PC上一点D作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．

因为∠APC=∠BPC=60°，所以点O在∠APB的平分线上，即∠OPE=30°．

过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，因为DO⊥平面APB，则DE⊥PA，DF⊥PB．

设PE=1，∵∠OPE=30°∴OP==．

在直角△PED中，∠DPE=60°，PE=1，则PD=2．

在直角△DOP中，OP=，PD=2．则cos∠DPO==．

即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．

故选B．

题型：简答题

简答题

如图，三棱柱ABC=A1B1C1的侧棱A1A垂直于底面ABC，A1A=2，AC=CB=1，∠BCA=90°，M、N分别是AB、A1A的中点．

（1）求证：A1B⊥CM；

（2）求直线BN与平面A1BC所成角正弦值．

正确答案

（1）证明：∵M为AB的中点，AC=CB，∴CM⊥AB，

又∵AA1⊥面ABC，CM⊂面ABC，

∴AA1⊥CM

∵AB∩AA1=A，∴CM⊥面AA1B1B，

∵CM⊂面AA1B1B，

∴CM⊥A1B-------------（6分）

（2）解：过N作NH⊥A1C交A1C于H，

∵∠BCA=90°，∴BC⊥面AA1C1C

∴BC⊥NH，

∴NH⊥面A1BC，则∠NBH为所求的角

在直角△NBH中，--------------（12分）

解析

（1）证明：∵M为AB的中点，AC=CB，∴CM⊥AB，

又∵AA1⊥面ABC，CM⊂面ABC，

∴AA1⊥CM

∵AB∩AA1=A，∴CM⊥面AA1B1B，

∵CM⊂面AA1B1B，

∴CM⊥A1B-------------（6分）

（2）解：过N作NH⊥A1C交A1C于H，

∵∠BCA=90°，∴BC⊥面AA1C1C

∴BC⊥NH，

∴NH⊥面A1BC，则∠NBH为所求的角

在直角△NBH中，--------------（12分）

题型：简答题

简答题

如图，已知三棱锥P-ABC，平面PAC⊥平面ABC，AB=BC=CA=4，PA=2，PC=2，D是AB的中点，CE=BC，F是PD的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PAC；

（Ⅱ）求直线EF与平面ABC所成角的正切值；

（Ⅲ）在CB是否存在一点使平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为，若存在，求出CG的长，若不存在，请说明理由．

正确答案

（I）证明：取PA的中点K，作ER∥AB交AC于R，连接FK，RK．

则KF∥AD，ER∥AD，又RG=AB==KF，

∴四边形KFRE是平行四边形，

∴EF∥KR，EF⊄平面PAC，KR⊂平面PAC，

∴EF∥平面PAC．

（II）在△ACP中，AP2+CP2==42=AC2，∴∠APC=90°．

∴，∴∠PAC=30°．

在△AKR中，AK=，=3．

由余弦定理可得：KR2=AK2+AR2-2AK•ARcos∠KAR=+32-=3，

∴KR=．

∴∠ARK=∠KAR=30°．

∵平面PAC⊥平面ABC，∴∠ARK为KR与平面ABC所成的角，

∵EF∥KR，

∴∠ARK即为直线EF与平面ABC所成的角，

∵tan∠ARK=，∴直线EF与平面ABC所成角的正切值为．

（III）如图所示，取AC的中点O为坐标原点，OA，OB分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系．

假设在CB存在一点G使平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为．A（2，0，0），B，C（-2，0，0），

D．

设，则=+=+λ=．

过点P作PM⊥AC，则PM⊥平面ABC．M（-1，0，0），

P．∴F，

∴=，=，

设平面DGF的法向量为=（x，y，z），则，即，

当时，x=0，取y=1，则z=1．

∴=（0，1，1），取平面ABC的法向量=（0，0，1）．满足=，

即平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为．

∴在CB存在一点G为BC的中点，使平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为．

解析

（I）证明：取PA的中点K，作ER∥AB交AC于R，连接FK，RK．

则KF∥AD，ER∥AD，又RG=AB==KF，

∴四边形KFRE是平行四边形，

∴EF∥KR，EF⊄平面PAC，KR⊂平面PAC，

∴EF∥平面PAC．

（II）在△ACP中，AP2+CP2==42=AC2，∴∠APC=90°．

∴，∴∠PAC=30°．

在△AKR中，AK=，=3．

由余弦定理可得：KR2=AK2+AR2-2AK•ARcos∠KAR=+32-=3，

∴KR=．

∴∠ARK=∠KAR=30°．

∵平面PAC⊥平面ABC，∴∠ARK为KR与平面ABC所成的角，

∵EF∥KR，

∴∠ARK即为直线EF与平面ABC所成的角，

∵tan∠ARK=，∴直线EF与平面ABC所成角的正切值为．

（III）如图所示，取AC的中点O为坐标原点，OA，OB分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系．

假设在CB存在一点G使平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为．A（2，0，0），B，C（-2，0，0），

D．

设，则=+=+λ=．

过点P作PM⊥AC，则PM⊥平面ABC．M（-1，0，0），

P．∴F，

∴=，=，

设平面DGF的法向量为=（x，y，z），则，即，

当时，x=0，取y=1，则z=1．

∴=（0，1，1），取平面ABC的法向量=（0，0，1）．满足=，

即平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为．

∴在CB存在一点G为BC的中点，使平面DGF与平面ABC所成锐二面角的大小为．

题型：简答题

简答题

在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且EB=AB=2，CD=1，

（1）求二面角D-AB-C的正切值

（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

正确答案

解：（1）等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC．

又BE和CD都垂直于平面ABC，∴AB⊥BE，∴AB⊥平面BEDC，∴∠DBC为二面角D-AB-C的平面角．

直角三角形BCD中，由EB=AB=2，CD=1，可得tan∠DBC==．

（2）由于DB=DE=，故△DBE为等腰三角形，取BE得中点N，则DN⊥BE．

由（1）AB⊥平面BEDC，可得平面ABE⊥平面BEDC，且平面ABE和平面BEDC 的交线为BE，

故DN⊥平面ABE，∠DAN即为AD与平面ABE所成角．

sin∠DAN===．

解析

解：（1）等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC．

又BE和CD都垂直于平面ABC，∴AB⊥BE，∴AB⊥平面BEDC，∴∠DBC为二面角D-AB-C的平面角．

直角三角形BCD中，由EB=AB=2，CD=1，可得tan∠DBC==．

（2）由于DB=DE=，故△DBE为等腰三角形，取BE得中点N，则DN⊥BE．

由（1）AB⊥平面BEDC，可得平面ABE⊥平面BEDC，且平面ABE和平面BEDC 的交线为BE，

故DN⊥平面ABE，∠DAN即为AD与平面ABE所成角．

sin∠DAN===．

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