热门试卷

（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OM．

∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，

∴四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．

又∵M为BC中点，

∴OM为△A1BC中位线，

∴A1B∥OM，

∵OM⊂平面AMC1，A1B⊄平面AMC1，

∴A1B∥平面AMC1．

（2）解：由ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，

故BA，BC，BB1两两垂直．可建立如图空间直角坐标系B-xyz．

设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C1（2，0，1），M（1，0，0）．

则=（1，-2，0），=（2，-2，1），

设平面AMC1的法向量为=（x，y，z），则有

所以取y=1，得=（2，1，-2）．

又∵=（0，0，1）

∴直线CC1与平面AMC1所成角θ满足sinθ==

故直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值为．

解：取A1B1的中点E，连结C1E，AE，

由正三棱柱性质得面A1B1C1⊥面A1B1BA，交线是A1B1．

又C1E⊥A1B1，∴C1E⊥面A1B1BA．

∴∠C1AE为所求．

∵AB=a，C1C=a，

∴Rt△C1EA中，C1E=，AE=a．

∴tan∠C1AE==．

∴∠C1AE=30°．

∴AC1与面ABB1A1所成的角为30°．

解：（1）证明：连接AC，所以AC是AC1在底面内的射影，

因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，所以AC⊥BD，

所以根据三垂线定理可得：AC1⊥BD，同理可得：AC1⊥A1B，

因为BD∩A1B=B，

所以AC1⊥平面A1BD．

因为P，Q分别是棱DD1，CD的中点，

所以PQ∥CD1，

所以PQ∥A1B，

又因为A1B⊂平面A1BD，

所以PQ∥平面A1BD．

（2）建立空间直角坐标系，如图所示：则A1（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），设M（1，y，1），

所以，，，

设平面A1BD与平面BDM的法向量分别为：，，

所以，即，取．

同理可得：．

因为二面角M-BD-A1的大小为45°，

所以cos=，解得：，

所以|B1M|=．

所以在棱B1C1上存在点M，使得二面角M-BD-A1的大小为45°，并且B1M的值为．