热门试卷

（1）证明：如右图，作A在A1B上的射影D．

∵平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，

∴AD⊥平面A1BC，

又BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC，

∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，

∴AA1⊥BC．

又AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，

∵AB⊂侧面A1ABB1，

∴AB⊥BC．…6′

（2）解：由（1）知，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，，0），C（1，0，0），A1 （0，，2），

∴，，

设平面A1BC的一个法向量为，

平面AA1C的一个法向量为，

则，∴

取，

由，得，取

∴，，

∴

∴．…12′

解：（Ⅰ）证明：取CD的中点K，连接MK，NK

∵M，N，K分别为AK，CD1，CD的中点

∵MK∥AD，NK∥DD1

∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1

∴面MNK∥面ADD1A1

∴MN∥面ADD1A1

（Ⅱ）设F为AD的中点

∵P为A1D1的中点∴PF∥DD1

∴PF⊥面ABCD

作FH⊥AE，交AE于H，连接PH，则由三垂线定理得AE⊥PH

从而∠PHF为二面角P-AE-D的平面角．

在Rt△AEF中，，从而

在Rt△PFH中，

故：二面角P-AE-D的大小为

解：由题意做出图形：

（I）连接AC，D1F，

∵A1F⊥平面BEF，∴A1F⊥BE，

又BE⊥CF∴BE⊥平面A1ACF，

∴BE⊥AC∴△BCE∽△ABE，

∴⇒CE=1

∵EF⊥A1F，EF⊥A1D1，EF⊥平面A1D1F∴EF⊥D1F∴⇒CFCE=1或4

（II）∵CF＞2∴CF=4  设AC与BE交与点G，则AG⊥BE，FG⊥BE∴∠A1GF就是A1-BE-F的平面角AG=，CG=

∴cos∠A1∴二面角A1-BE-F的余弦值为．

故答案为：（I）CE=1，CF=1或4，（II）．

（1）证明：取PD中点F，连接AF，EF，则，

又BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB，

∴，∴，

∴四边形ABEF是平行四边形-------------------（2分）

∴AF∥BE，

又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD

∴BE∥平面PAD-------（4分）

（2）解：过C作DE的垂线，交DE的延长线于N，连接BN

∵平面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AF，

又AF⊥PD，PD∩CD=D，

∴AF⊥平面PCD，

∴BE⊥平面PCD，

∴BE⊥CN，

又CN⊥DE，DE∩BE=E，

∴CN⊥平面BDE，

∴∠CBN就是直线BC与平面BDE所成角------（7分）

令AD=1，求得，，

∴sin∠CBN=，

∴cos∠CBN=，

故BC与平面BDE所成角的余弦值为；------（9分）

（3）解：假设PC上存在点M，使得AM⊥平面PBD，则AM⊥PD，由（2）AF⊥PD，

∴PD⊥平面AFM，

又PD⊥平面ABEF，故点M与E重合．----（11分）

取CD中点G，连接EG，AG，则BD⊥AG，

又BD⊥AE，AG∩AE=A，

∴BD⊥平面AEG，

∴BD⊥EG，

∴BD⊥PD，

又PD⊥CD，BD∩CD=D，

∴PD⊥平面BCD，

从而PD⊥AD，这与△PAD是等边三角形矛盾．

故在线段PC上不存在点M满足题意．-----------------------------------（14分）