热门试卷

（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，

∴AM=BM=，

∴BM⊥AM，

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM

∴BM⊥平面ADM

∵AD⊂平面ADM

∴AD⊥BM…（4分）

（2）解：以M为坐标原点，MA为x轴，MB为y轴，建立空间直角坐标系，

则D

面ADM的法向量为；设DC与面ADM所成的角为θ．

∴，

∴DC与面ADM所成的角的正弦值为．…（8分）

（3）解：同（2）中建立空间直角坐标系

面AMD的法向量为

设==

设面AEM的法向量为，

∴

令，∴…（10分）

由题意解得：

即E在DB中点时，二面角E-AM-D的余弦值为…（13分）

（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

∴BA，BC，BB1两两垂直．以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1分）

则B（0，0，0），N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）

∵=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0

=（4，4，0）•（0，0，4）=0（3分）

∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1．

又NB1与B1C1相交于B1，

∴BN⊥平面C1B1N．（5分）

（2）∵BN⊥平面C1B1N，是平面C1B1N的一个法向量=（4，4，0），（6分）

设=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，

则⇒⇒，

取=（1，1，2），（8分）

则

由图可知，所求二面角为锐角，

所以，所求二面角C-NB1-C1的余弦值为．（10分）

（3）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）（0≤a≤4）为BC上一点，则=（-2，0，a），

∵MP∥平面CNB1，

∴⊥⇒•=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0⇒a=1．（13分）

∴在CB上存在一点P（0，0，1），使得MP∥平面CNB1，且BP=1（14分）

解：由题意可知二面角D-AC-B的平面角为∠DOB，即∠DOB=θ．

（1）当θ=90°时，即∠DOB=90°，分别取DC，BD的中点M，N，连结OM，MN，ON，

∵OM∥AD，MN∥BC，

∴∠OMN为异面直线AD与BC所成的角或其补角，

在△OMN中，OM=2，MN=2，，

∴，

即异面直线AD与BC所成角的余弦值为．

（2）当θ=60°时，即∠DOB=60°，

由题意可知AC⊥平面DOB，△DOB为等边三角形，

取OB的中点H，则有DH⊥平面ABC，且DH=3，即直线AD与平面ABC所成的角为∠DAH，

∴，

即直线AD与平面ABC所成角的正弦值为．