- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
（1）求：二面角A1-DC1-B的余弦值
（2）已知点E为面对角线B1D1上的动点（不包括端点），求证：三棱锥D-EBC1的体积为定值，并求出这个定值
（注：答题时在答题卡的20题答题区域用尺、笔画出所用立体图形，标清字母，黑色笔描出）
正确答案
∴
设面A1DC1的法向量坐标为
∴
同理可得面DC1B的法向量坐标
∴二面角A1-DC1-B的余弦值为
（2）设C1到平面BD1的距离为h，则可知h=
∵
∴
∵
∴
解析
∴
设面A1DC1的法向量坐标为
∴
同理可得面DC1B的法向量坐标
∴二面角A1-DC1-B的余弦值为
（2）设C1到平面BD1的距离为h，则可知h=
∵
∴
∵
∴
在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点E是侧面BB1CC1的中心，若AA1=3AB，则直线AE与平面BB1CC1所成角的大小为（ ）
正确答案
解析
因为三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，所以平面BCC1B1⊥平面ABC，点E是侧面BB1CC1的中心，
所以ED⊥BC，AD⊥BC，所以AD⊥平面EBC，∠AED就是直线AE与平面BB1CC1所成角，
∵AA1=3AB，∴ED=
∴tan∠AED=
∠AED=30°．
故选A．
将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成二面角A-BD-C，点E，F分别为AC，BD的中点，给出下列四个命题：
①EF∥AB；②直线EF是异面直线AC与BD的公垂线；③当二面角A-BD-C是直二面角时，AC与BD间的距离为
其中正确的是______（将正确命题的序号全填上）．
正确答案
②③④
解析
由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，又EF⊂面ACF，
∴EF⊥BD，在等腰三角形AFC中，EF⊥AC
即直线EF是异面直线AC与BD的公垂线，故②正确．
当二面角A-BD-C是直二面角时，则∠CFA=90°，
由于 FA=FC=
∴EF⊥AC，EF=
当二面角A-BD-C是直二面角时，即AC与BD间的距离为
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故④正确．
故答案为 ②③④．
二面角α-l-β的大小为45°，线段AB⊂α，B∈l，直线AB与l所成角为45°，则直线AB与β所成角为（ ）
正确答案
解析
解：如图所示，
过点A作AC⊥β，垂足为C，作CD⊥l，垂足为D，连接AD，BC．
则l⊥AD．
∴∠ADC是二面角α-l-β的平面角，大小为45°．
∠ABC是直线AB与β所成角．
不妨取AD=
在Rt△ACB中，sin∠ABC=
∴∠ABC=30°．
故选：A．
正确答案
∴∠PMD是二面角P-EC-D的平面角．
∵二面角P-EC-D的平面角为
∵PD⊥平面ABCD，PD=1
∴DM=1
∵AB=DC=2，∴∠DCE=30°
∴∠BCE=60°，∴BE=
∴
∴VB-PEC=VP-BEC=
解析
∴∠PMD是二面角P-EC-D的平面角．
∵二面角P-EC-D的平面角为
∵PD⊥平面ABCD，PD=1
∴DM=1
∵AB=DC=2，∴∠DCE=30°
∴∠BCE=60°，∴BE=
∴
∴VB-PEC=VP-BEC=
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