热门试卷

解：（1）连结A1F，则A1F⊥B1D1，又由正方体的几何特征知A1F⊥BB1，

∴A1F⊥平面BDD1．

连结DF，则∠A1DF为直线A1D与平面BDD1所成角，

在直角△A1DF中，sin∠A1DF==，

即A1D与面BDD1所成角的正弦值．

（2）连结AF，BF，AD1，AB1，CB1，CD1，

∵F为等腰△AB1D1和等腰△CB1D1的中点，∴B1D1⊥AF，且B1D1⊥CF，

∴∠AFC为二面角A-B1D1-C的平面角，

连结AC，设正方体的棱长为a，

则在△AFC中，由余弦定理得cos．

而=a=CF，AC=，

∴cos，

即二面角A-B1D1-C的平面角的余弦值为．

（Ⅰ）证明：∵PE=PF=1，EF=

∴PE⊥PF

∵PE⊥PC，PC∩PF=P

∴PE⊥平面PFC

∵PE⊂平面PEC

∴平面PCE⊥平面PCF；   

 （Ⅱ）解：如图，建立坐标系，则

A（，-1，0），E（，0，0），N（0，，0），P（0，0，），C（，1，0），F（，0，0），M（，，）

，，

∵，

∴，

∴是平面PAE的法向量，

设MN与平面PAE 所成的角为θ

∴sinθ=|cos|==

解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=45°，

∴∠DCA=∠BAC=45°．

又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．

∴DC=AC=2AB．

连接BD，交AC于点M，则==2

∵PD∥平面EAC，又平面EAC∩平面PDB=ME，∴PD∥EM

在△BPD中，==2，

即PE=2EB时，PD∥平面EAC

（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，

如图建立空间直角坐标系．

设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），

C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，，）．

设=（x，y，1）为平面EAC的一个法向量，

则，解得x=，y=-，

∴=（，-，1）．

同理可得平面PBC的一个法向量=（0，1，1）．

∴cos＜，＞==，

∴二面角A-CE-P的余弦值为．