- 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
- 共2973题
已知α-l-β是大小为45°的二面角，C为二面角内一定点，且到半平面α和β的距离分别为
A
B
C15
D
正确答案
解析
则△ABC周长L=AB+AC+BC=AB+AM+BN=MN，
由两点之间线段最短可以得出MN即为△ABC周长的最小值，下求此最小值即MN的长度，在△CMN中求解
由已知C为二面角内一定点，且到半平面α和β的距离分别为
可得出CM=2
又α-l-β是大小为450的二面角，线段CM与线段CN与两个平面的交点即点C在两个平面上的垂足分别为Q，P，过点P作PO垂直两平面的交线于O，连接QO，则角POQ=45°，故可得角MCN=135°
故MN2=CM2+CN2-2×CN×CM×cos135°=8+144+48=200
故MN=
故选D
（Ⅰ）求直线B1D和平面A1ADD1所成角的大小；
（Ⅱ）求证：B1D⊥AE；
（Ⅲ）求二面角C-AE-D的大小．
正确答案
解：
∴A1B1⊥平面A1ADD1，
∴A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影，
∴∠A1DB1是直线B1D和平面A1ADD1所成的角（2分）
在Rt△B1A1D中，
∴∠A1DB1=30°，
即直线B1D和平面A1ADD1所成角的大小是30°（4分）
（Ⅱ）证明：在Rt△A1AD和Rt△ADE中，
∵
∴△A1AD～△ADE，∴∠A1DA=∠AED．
∴∠A1DA+∠EAD=∠AED+∠EAD=90°，
∴A1D⊥AE（7分）
由（Ⅰ）知，A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影，
根据三垂线定理得，B1D⊥AE（9分）
（Ⅲ）设A1D∩AE=F，连接CF．∵CD⊥平面A1ADD1，且AE⊥DF，
根据三垂线定理得，AE⊥CF，∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角（11分）
在Rt△ADE中，由
在Rt△FDC中，
即二面角C-AE-D的大小是60°（14分）
解析
解：
∴A1B1⊥平面A1ADD1，
∴A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影，
∴∠A1DB1是直线B1D和平面A1ADD1所成的角（2分）
在Rt△B1A1D中，
∴∠A1DB1=30°，
即直线B1D和平面A1ADD1所成角的大小是30°（4分）
（Ⅱ）证明：在Rt△A1AD和Rt△ADE中，
∵
∴△A1AD～△ADE，∴∠A1DA=∠AED．
∴∠A1DA+∠EAD=∠AED+∠EAD=90°，
∴A1D⊥AE（7分）
由（Ⅰ）知，A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影，
根据三垂线定理得，B1D⊥AE（9分）
（Ⅲ）设A1D∩AE=F，连接CF．∵CD⊥平面A1ADD1，且AE⊥DF，
根据三垂线定理得，AE⊥CF，∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角（11分）
在Rt△ADE中，由
在Rt△FDC中，
即二面角C-AE-D的大小是60°（14分）
把∠A=60°，边长为8的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则AC与BD的距离为（ ）
A6
B
C
D
正确答案
解析
令E、F分别是中点，则折后两条对角线之间的距离为EF的长
由题设条件及图形可证得在△AEC中，∠AEC=60°，AE=CE=4
又F是中点，故有直角三角形AFE中，∠AEF=30°，∠EAF=60°，
故有EF=AE×sin60°=4
故选A
（Ⅰ）试在棱CC′上确定一点M，使A′M⊥平面AB′D′；
（Ⅱ）当点M在棱CC′中点时，求直线AB′与平面A′BM所成角的大小．
正确答案
解：（1）∵直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，
∴B‘D'⊥A'C'，
∴B'D'⊥平面ACC'A'，
∴B'D'⊥A'M，
∴在棱CC′上确定一点M，使A′M⊥平面AB′D′，只要过A'作A'M⊥AD'交CC'与点M；
（2）如图建立空间直角坐标系，
因为直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，且AA′=2
所以A（0，0，0），B'（
M（0，2，
所以
设平面A'BM的一个法向量为
则
cos＜
所以当点M在棱CC′中点时，直线AB′与平面A′BM所成角的大小为arcsin
解析
解：（1）∵直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，
∴B‘D'⊥A'C'，
∴B'D'⊥平面ACC'A'，
∴B'D'⊥A'M，
∴在棱CC′上确定一点M，使A′M⊥平面AB′D′，只要过A'作A'M⊥AD'交CC'与点M；
（2）如图建立空间直角坐标系，
因为直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，且AA′=2
所以A（0，0，0），B'（
M（0，2，
所以
设平面A'BM的一个法向量为
则
cos＜
所以当点M在棱CC′中点时，直线AB′与平面A′BM所成角的大小为arcsin
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）求直线BC与平面ACC1A1所成的角．
正确答案
（Ⅰ）证明：∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴CC1⊥平面ABCD，
∴BD⊥CC1
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC
又∵AC，CC1⊂平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，
∴BD⊥平面ACC1A1．（6分）
（Ⅱ）解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD，
又在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC∩AA1=A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∴∠BCO为直线BC与平面ACC1A1所成的角，
在正方形ABCD中，由题意知∠BCO=45°，
∴直线BC与平面ACC1A1所成角为45°．（12分）
解析
（Ⅰ）证明：∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴CC1⊥平面ABCD，
∴BD⊥CC1
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC
又∵AC，CC1⊂平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，
∴BD⊥平面ACC1A1．（6分）
（Ⅱ）解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD，
又在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC∩AA1=A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∴∠BCO为直线BC与平面ACC1A1所成的角，
在正方形ABCD中，由题意知∠BCO=45°，
∴直线BC与平面ACC1A1所成角为45°．（12分）
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